Peut-on additionner ou soustraire 2 intégrales de même fonction et pas sur même intervalle ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais répondre à la question : peut-on additionner ou soustraire deux intégrales de la même fonction, mais qui ne sont pas sur un même intervalle ?

Le cas typique.

Donc ça va être typiquement intégrale entre a et b de f(x) dx, plus ou moins, intégral entre c et d de f(x) dx. Est ce qu’on peut additionner ces choses-là directement pour arriver à une seule intégrale ?

C’est une bonne question ! Ici entre un premier point et un deuxième point, f(x) dx. Est-ce que c’est faisable ? Eh bien on va réfléchir toujours pareil… graphiquement !

L’exemple par le graphique.

Parce que c’est très souvent la meilleure façon de réfléchir. Prenons une fonction f, voilà qui va être comme d’habitude… Donc prenons maintenant a, b, c et d.

Et on va considérer la première intégrale ici, entre a et b, et puis la deuxième entre c et d. Donc là je prends volontairement des points séparés.

Ici on a, ici on a b, ici on a c et ici on a d. Et on veut intégrer ces choses là donc on veut intégrer entre c et d, voilà. Et on veut ajouter ou soustraire l’intégrale entre a et b. Entre a et b, on est ici.

Voilà les deux intégrales, l’intégrale en vert, c’est l’intégrale entre a et b de f(x)dx. Et l’intégrale en orange, c’est l’intégrale entre c et d de f(x)dx.

Peut-on ajouter / soustraire ces intégrales d’une même fonction qui ne sont pas sur le même intervalle ?

En fait, la vraie question c’est quelles sont les conditions sous lesquelles on peut le faire ? Parce que la réponse c’est oui, mais quelles sont les conditions pour lesquelles tu peux le faire ?

La condition évidente !

Il y a une condition qui semble évidente ici, et qui est plus ou moins la seule en fait, c’est si b = c. Si b égal c, tu vois qu’en fait on est entrain d’intégrer sur [a, d].

Donc ça devient l’intégrale entre a et d de f(x) dx. Ça c’est pour le cas « + », d’accord, dans le cas où on somme les deux… et on a ça.

Maintenant si l’intégrale orange, elle était de l’autre côté, c’est à dire que si c et d était plus petits que a et b, eh bien, tu vois qu’il faudrait faire attention à ce que d soit égal à a, cette fois-ci, d’accord. Donc ça, ça serait d = a.

Et de façon générale ?

Bon globalement, on va pas prendre tous les cas possibles, il y en a beaucoup trop. En particulier si c est plus grand que d, etc.

Ce qui t’intéresse ici, c’est que si tu as une soustraction d’intégrale, la première chose à faire ça va être de transformer cette soustraction en addition !

Parce que les additions tu peux les visualiser très facilement. Une soustraction c’est toujours embêtant. Parce que « – » une intégrale, tu sais que c’est l’inversion des bornes !

Ensuite si les bornes sont inversés, là aussi tu veux les mettre dans le bon sens, c’est à dire que tu veux mettre la borne d’en bas plus petite que la borne d’en haut, pour les deux intégrales.

L’idée que tu dois garder en tête pour savoir si tu peux  additionner ou soustraire des intégrales de la même fonction qui ne sont sur le même intervalle.

Peut-être qu’il n’y aura pas de possibilité ici. Ce qu’il faut c’est que tu te ramènes à quelque chose ou graphiquement tu peux comprendre ce qu’il se passe.

Quand tu comprends ce qui se passe et que tu as pu dessiner, positionner tes a, b, c, et d pour savoir si des intégrales sont positives ou négatives… eh bien, tu n’as plus qu’à regarder s’il y a une borne commune entre les deux !

Attention s’il y a un « -« , tu peux pas faire ces choses-là tu vois que si ici c’est l’intégrale entre a et b est ici – l’intégrale entre c et d…

Dans ce cas-là, tu ne pourras jamais écrire ça sous une seule intégrale puisque ça sera plus la même fonction sera la fonction -f si tu veux. Ce sera intégrale entre a et b de f(x) + intégrale entre c et de -f(x).

Et donc il faudra inverser ça et c’est plus la même fonction ! Tu peux pas les mettre sous la même intégrale. Maintenant si tu arrives dans une situation où en gros tu as l’intégrale sur un premier bout de f(x) dx + l’intégrale sur un deuxième bout de f(x) dx : si le point d’arrivée de la première intégrale c’est le point de départ de la deuxième, eh bien, tu vas pouvoir tout écrire sous une seule intégrale.

Ce que tu devrais retenir de tout cela !

Donc l’intérêt de cette vidéo ici, c’est toujours pareil, c’est de faire le lien entre ce que tu lis mathématiquement ici et ce que ça vaut graphiquement.

Puis comment tu peux le représenter, parce que si tu arrives à faire ce lien tu vas pouvoir t’en sortir dans toutes les situations ! Puisque tu vas pouvoir comprendre ce qui se passe dans toutes les situations.

Et puis te simplifier la vie dans certains cas comme ici, par exemple, si tu peux le réécrire sous la forme d’une seule intégrale.

De manière générale ce que tu veux c’est de pouvoir faire ce lien entre la partie graphique, peu importe la courbe en fait, peu importe les fonctions que tu as derrière, et si tu vois que c’est juste une question d’intervalles…

Donc de faire ce lien entre les mathématiques et la partie représentation graphique de manière à pouvoir trouver des idées et faire des choses pour manipuler tes intégrales.

Donc voilà comment tu pourrais dans certains cas additionner ou soustraire deux intégrales d’une même fonction qui ne sont pas sur le même intervalle.

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