Les 6 Formules pour Connaître Toutes les Dérivées

Quand la liste des dérivées à connaître par cœur est bien trop longue...

La première fois que j'ai vu la liste des dérivées à connaître, j'ai pleuré. Comme tu le sais maintenant, je déteste apprendre par cœur et la liste telle qu'on nous la livre est bien trop longue pour moi ! Mais faut-il vraiment se mettre en mode ‹‹ Champion du Monde de Mémorisation ›› quand le mot ‹‹ dérivée ›› apparaît ?

Encore une fois... Non ! En réalité, il y a 6 formules à savoir dont une est hyper simple et une autre se retient avec un truc mnémotechnique que je vais te donner. Ça t'en laisse 4 à vraiment apprendre pour pouvoir en déduire toutes les autres. Je te détaille tout ça dans cet article et je t'ai fait une Fiche Récap à imprimer pour que tu puisses avoir tout ça sous les yeux jusqu'à ce que tu t'en rappelles 😉 !

Si tu n'es pas très à l'aise avec les fonctions, je t'invite à aller lire l'article qui te permettra de savoir tout ce qu'il y a à savoir sur les fonctions pour bien les comprendre.

Voici les 6 Formules à Savoir pour Retrouver Toutes les Dérivées !


Dérivée de la fonction puissance

1. Dérivée d'une fonction puissance

Première formule à connaître : la dérivée d'une fonction puissance u(x) = x^n. Là, pas grand chose à faire à part l'apprendre par cœur mais ça tombe bien car cette formule n'est pas bien compliquée. Premièrement, on ‹‹ fait descendre ›› l'exposant n du x qui devient une multiplication. Deuxièmement, on enlève 1 à l'exposant d'origine. Au final, on a donc u'(x) = nx^{n-1} !

Si tu connais une des premières dérivées que tu as dû apprendre, celle de x^2, tu peux toujours te débrouiller pour retrouver la formule générale. En effet, ça veut dire que tu sais que (x^2)' = 2x, ce qui s'écrit aussi 2x^1. Par conséquent, tu vois que le 2 est ‹‹ descendu ›› et qu'on a soustrait 1 à l'exposant d'origine. Maintenant, tu n'as plus qu'à te rappeler que ça fonctionne exactement pareil dans le cas général ! Par exemple (x^{10})' = 10 x^9.

Tu verras dans le point 7 qu'avec cette formule on peut retrouver un paquet d'autres formules !


Dérivée des fonctions exponentielles et logarithme népérien

2. Dérivées des fonctions exponentielle et logarithme népérien

Pour une fois, la fonction exponentielle est sympa... profite-en ! Autant habituellement elle est une source de difficultés, autant pour la dérivation elle est ultra facile. Sa dérivée est elle-même, soit (e^x)' = e^x ! Pas de formule compliquée à retenir donc, juste à te rappeler que l'exponentielle est sympa.

Par contre, la dérivée du logarithme est beaucoup moins naturelle, et c'est sûrement la formule la plus compliquée de toutes celles que je vais te donner dans cet article. Pas compliquée d'un point de vue mathématique puisque (ln{x})' = 1/x, mais difficile à vraiment assimiler au point que ça devienne naturel. Il n'y a pas de lien évident ou de façon mnémotechnique que je connaisse pour retenir cette formule.

D'ailleurs, je ne te l'ai pas encore rappelé mais il y a une chose importante : si tu connais bien tes dérivées, tu connaîtras aussi tes primitives ! Pas besoin d'apprendre une autre longue liste. En fait, tu pourras retrouver toutes les primitives facilement. C'est pour ça que je t'invite à bien comprendre cet article et à me poser toutes les questions qui te viennent dans les commentaires !


Dérivée des fonctions sinus et cosinus

3. Dérivées des fonctions sinus et cosinus

Bon déjà, un truc facile, la dérivée d'un sinus est un cosinus et celle d'un cosinus est un sinus MAIS il y a un signe - dans un cas et pas dans l'autre. Et bien sûr, on ne se rappelle jamais qui prend le signe + et qui prend le - ! Je vais te donner un moyen mnémotechnique qui va te permettre de t'en rappeler en moins de 2 secondes... Le voici tel que je l'écrirais sur mon brouillon :

Moyen mnémotechnique de retenir les dérivées de sinus et cosinus

Autrement dit : 1) Tu traces un cercle trigo, 2) Tu positionnes sinus et cosinus sur les axes qui leur correspondent et 3) Tu te retiens qu'il faut aller vers la Droite en partant de Sinus pour Dériver !

Chaque flèche violette sur mon dessin représente une dérivation. Autrement dit, tu retrouves directement que (sin(x))' = cos(x) et que (cos(x))' = -sin(x) ! Et en bonus dans le même dessin, tu as les dérivées de -cos(x) et -sin(x).

Petit rappel : Dans le cercle trigonométrique, le cosinus se lit toujours sur l'axe des abscisses et le sinus sur l'axe des ordonnées. La seule chose que j'ai rajouté ici, c'est leurs ‹‹ versions négatives ››. En effet, sous l'axe des abscisses, les valeurs de sinus sont négatives. Et à gauche de l'axe des ordonnées, les valeurs de cosinus sont négatives.


Dérivée d'une somme de fonctions

4. Dérivée d'une somme de fonctions

Voilà la formule hyper simple dont je te parlais dans l'introduction de cet article. La dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions. On peut difficilement faire plus simple, et c'est tant mieux ! Écris-le de la façon que tu veux, comme dans la petit image ci-dessus ou sous la forme (u(x)+v(x))' = u'(x) + v'(x), c'est la même chose.

Je n'ai pas grand chose à dire sur cette formule... Sauf peut-être que tu devrais remarquer que si tu fais la dérivée de (u+u), tu obtiens (u+u)' = u' + u', c'est à dire que (2u)' = 2u'. Tu vas voir, je vais réutiliser ça dans le point 7 !

Une chose à noter avant de passer à la suite : si cette formule est vraie pour la somme de 2 fonctions, elle l'est aussi pour la somme de N fonctions !


Dérivée d'une multiplication de fonctions

5. Dérivée d'une multiplication de fonctions

Comme toujours avec la multiplication, les choses sont un peu plus complexes. Pour autant, cette formule est beaucoup plus simple qu'elle n'y parait. Pourquoi ? Parce que d'une part, l'ordre dans une addition n'a pas d'importance donc la formule pourrait aussi s'écrire (uv)' = v'u + u'v. Et que d'autre part, l'ordre dans un multiplication n'en a pas non plus. Tu pourrais donc aussi écrire (uv)' = vu' + v'u.

Tu n'as donc qu'à retenir que la dérivée d'une multiplication de 2 fonctions est la somme de 2 multiplications pour lesquelles on a dérivé une fonction et pas l'autre. Au final, quelque soit la façon dont tu écris cela, ce sera toujours la même chose que (uv)' = u'v + uv' !


Dérivée d'une composition de fonctions

6. Dérivée d'une composition de fonctions

Enfin, cette dernière formule permet d'aller beaucoup plus loin dans la dérivation et sera à la base des dérivées les plus complexes que tu verras au lycée. Bien que la formule ne soit pas ultra complexe, l'appliquer est parfois un peu flou. C'est pourquoi je vais te montrer comment la retenir et surtout comment l'utiliser sans jamais te planter.

Pour la retenir, la meilleur façon à mon avis est de la comparer à la dérivée d'une fonction quelconque u(x). Ici x est la variable et on note toujours (u(x))' = u'(x). Rien de nouveau. Maintenant, quand on compose 2 fonctions, on a u(v) où cette fois v est une fonction qui en fait s'écrit v(x). Eh bien, la seule différence avec le cas précédent, c'est qu'il va y avoir une multiplication par v'(x). Ce qui donne (u(v))' = u'(v).v' ou si tu préfères avec la variable x explicitée, (u(v(x)))' = u'(v(x)).v'(x).

Quand tu connais ou que tu as su retrouver la formule sur ton brouillon, il y a une méthode infaillible pour l'appliquer sans jamais te tromper. Prends le temps de noter à quoi correspondent u(x) et v(x) dans ton cas. Ensuite calcule leurs dérivées respectives u'(x) et v'(x). Et enfin, il ne te reste qu'à appliquer la formule en remplaçant le x dans u'(x) par v et en multipliant par v' ! (Je t'ai mis un exemple détaillé dans le point suivant)

Ne crois surtout pas que c'est une perte de temps, il vaut mieux perdre 30 secondes et avoir juste que gagner 30 secondes et n'avoir aucun point 😉 !


Et les autres dérivées alors ?

Et les autres alors, elles sont où ???

Là tu dois être en train de te dire que je t'ai un peu arnaqué car dans la liste des dérivées qu'on t'a donnée, il y en a des tas d'autres qui sont très différentes de celles-ci ! Et moi je te dis, qu'elles ne servent à rien et je vais te montrer tout de suite que tu peux toutes les retrouver avec les 6 ci-dessus 🙂 .

Note que ce qui est important dans ce qui suit, c'est ​comment je réussis à retrouver les formules et non pas les formules en elles-mêmes ! C'est pour cela que dans la Fiche Récap, je ne te mets pas que la formule mais les éléments qu'il faut connaitre pour la retrouver !

Prends un brouillon et écris les choses en même temps que tu les lis pour bien les comprendre. Sinon ça va te paraître hyper compliqué... Alors que ce sera juste parce que tu lis des maths sur un écran !

Dérivée de 1/x^n (dont 1/x)

Pour celle-ci, on utilise le fait que 1/x^n = x^{-n} et on applique la formule du premier point. Ce qui donne (x^{-n})' = -n x^{-n-1} ou -n x^{-(n+1)} et qui s'écrit aussi (1/x^n)' = -n/x^{n+1}.

Dérivée de \\sqrt{x}

Pour la racine, il faut savoir un petit truc qu'on oublie parfois... \\sqrt{x} = x^{1/2} ! Là encore, il n'y a plus qu'à utiliser la formule du premier point : (x^{1/2})' = \\frac12 x^{(1/2)-1} = \\frac12 x^{-1/2}. Et ceci s'écrit aussi (\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2x^{1/2}} = \\dfrac{1}{2 \\sqrt{x}} !

Dérivée de ku(x)

Tu te rappelles ma remarque du point 4 sur la dérivée de 2u en utilisant le fait que 2u = u + u. En fait, on peut généraliser cela très simplement au cas d'une fonction k.u(x) puisque celle-ci correspond à k additions de la fonction u. Vu que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, la dérivée de k.u va être k additions de la dérivée u'(x), soit (k.u)' = k.u' !

Dérivée d'une fonction constante

Là tu ne devrais pas avoir besoin de le retrouver, la dérivée représente la pente de la tangente en chaque point de la courbe. Si la fonction est constante, sa représentation graphique est une droite horizontale, donc sa pente est 0. Donc la dérivée d'une fonction constante est 0.

Si vraiment, tu as besoin de le retrouver, tu peux utiliser ce qu'on vient de voir en plus du fait que x^0 = 1. Toute fonction constante s'écrit sous la forme u(x) = k où k est constante, ce que tu peux aussi écrire u(x) = k.x^0. Maintenant tu utilises ce que tu sais (k.x^0)' = k(x^0)' et l'exposant ‹‹ descend ›› quand on dérive, ce qui veut dire que tu vas multiplier la formule par 0, donc que la dérivée est nulle !

Dérivée de 1/u(x)

Pour la fonction 1/u(x), on peut utiliser la même chose que pour la fonction 1/x ! On écrit donc que 1/u(x) = u(x)^{-1} et on utilise la formule pour la composition de fonctions.

Là je fais une petite parenthèse, car c'est à ce moment précis que l'application de la formule pour la dérivée d'une composition peut être difficile. Tu ne dois pas te laisser perturber par les noms des fonctions. J'ai volontairement choisis 1/u(x) pour te mettre le doute. Ce u(x) là n'a rien à voir avec celui de la formule pour la composition ! Par conséquent, la première chose que tu dois faire c'est réécrire la formule de la dérivée d'une composition avec des lettres qui n'interfèrent pas avec ce que tu es en train de faire. Par exemple, (f(g))' = f'(g).g' comme je vais l'utiliser maintenant.

On identifie que f(x) = 1/x et g(x) = u(x). Maintenant, on calcule les dérivées f'(x) = -1/x^2 et g'(x)=u'(x). Il ne reste plus qu'à utiliser la formule qui nous donne (1/u(x))' = -1/(u(x))^2 . u'(x), soit (1/u(x))' = -u'(x)/u^2(x)

Dérivée de u/v

Tout d'abord, je pense que la formule n'est pas si compliquée que ça à retenir, et que donc tu la retiendras rapidement une fois que tu l'auras utilisée 100 fois ! Pour autant, il n'est pas non plus difficile de la retrouver en utilisant la dérivée de uv et celle de 1/u puisque u/v = u.(1/v) !

Même remarque que le cas précédent, donc on utilise les fonctions f et g à la place, avec f(x)=u(x) et g(x)=1/v(x). ​Il suffit alors d'écrire pour retrouver la bonne formule : (fg)' = f'g + fg' soit u'(1/v) + u(-v'/v^2) ou (u'v - uv')/v^2 !

Dérivée de tan(x)

Tu devrais te rappeler que tan(x) = sin(x)/cos(x). Si c'est le cas, il n'y a qu'à utiliser la formule de la dérivée de u/v avec u(x) = sin(x) et v(x) = cos(x). On obtient alors tan(x) = \\frac{(sin(x))'cos(x) - sin(x)(cos(x))'}{(cos(x))^2}.

En remplaçant les dérivées, tu trouves (cos^2(x)+sin^2(x))/cos^2(x). À partir de là​, tu peux soit utiliser que sin^2(x) + cos^2(x) = 1 et trouver que la dérivée de la tangente est (tan(x))' = 1/cos^2(x). Soit, séparer les deux termes de la fraction et simplifier pour trouver que la dérivée vaut (tan(x))' = 1 + tan^2(x) ! Tu pourras donc utiliser la forme qui t'arrange suivant l'exercice.

Dérivées des autres fonctions : u^n, e^{u}, ln{u}, \\sqrt{u}, ...

Si il en reste dans ta liste et que tu ne les vois pas ici.... Je te laisse les retrouver ! Il suffit d'utiliser la formule de dérivation pour u(v(x)) (essentiellement une multiplication par v'(x)) en complément de la dérivée de la fonction u(x). Un exemple ? ​Pour e^{u(x)} on trouve u'(x).e^{u(x)} !

Encore une fois, ce qui est important dans ce que tu viens de lire, c'est ​comment je réussis à retrouver les formules et non pas les formules en elles-mêmes ! Je sais je me répète... mais c'est parce que c'est vraiment très important 🙂 !

Nous voilà au bout de cet article sur les dérivées ! Si t'as aimé mon approche, tu vas aimer l'ebook que je t'offre pour améliorer tes notes de Maths rapidement : télécharge-le ici.

Alors est-ce que tu penses toujours que retenir toutes les formules des dérivées est impossible ? Ou est-ce que cet article t'a permis de comprendre que d'en retenir 6 (et même plutôt 4 !) pouvait largement suffire à retrouver toutes les autres ? Donne-moi ton avis dans les commentaires !

Au plaisir de t'aider à Réussir,
Steven