L’essentiel pour comprendre les probabilités. (1/3)

Steven - les Maths en Tongs
L’essentiel pour comprendre les probabilités. (1/3)
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Les probabilités, ou ‹‹ probas ›› pour les intimes, prennent de plus en plus de place dans les programmes scolaires. Par conséquent, bien comprendre les probabilités est devenu indispensable ! Dans cet article, je parcours les notions essentielles que tu dois assimiler pour pouvoir t'en sortir en probas.

Dans le prochain article de la série, je détaillerai tout ce qu'il faut pour comprendre la loi Binomiale. Et dans le troisième et dernier article, je ferais le tour de ce qu'il faut savoir sur les probabilités continues et les lois à densité.

A quoi servent les probas ?

A quoi servent les probabilités ?

Si les probas sont de plus en plus présentes dans les programmes, ce n'est pas pour rien. C'est qu'elles le sont aussi dans la vie de tous les jours ! Ne vas donc pas croire que les probabilités sont inutiles...

Dans le monde qui nous entoure, il existe de très nombreux phénomènes pour lesquels l'aléatoire joue un rôle important.

Certains sont naturels comme la météo, la rencontre d'un animal avec un de ses prédateurs, la localisation des tremblements de terre, etc. 

D'autres sont issus nos créations comme les jeux de hasard, les risques d'avoir un accident de voiture ou de tomber sur un correcteur ultra sévère le jour du BAC 😉 !

En étudiant mathématiquement le côté aléatoire de ces phénomènes, on peut en tirer des caractéristiques globales pour avoir une meilleure idée de leur comportement. Voire même pour essayer de les prédire précisément. C'est à ça que servent les probabilités !

Le vocabulaire des probabilités

Le vocabulaire pour comprendre les probabilités

Comme d'habitude, si on veut pouvoir discuter clairement de ce qu'on étudie, il faut définir un cadre clair et sans ambiguïté. Autrement dit, pour comprendre les probabilités il faut comprendre le vocabulaire spécifique. C'est parti !

Univers : l'ensemble des éventualités.

Quand on veut étudier un phénomène aléatoire, on va commencer par définir ses limites. Qu'est-ce qu'on étudie et quelles sont les situations possibles ? C'est la première chose à faire. Pour ça, on va limiter le cadre au strict minimum.

Par exemple si on lance un dé, il n'y a que 6 résultats possibles, un par face. C'est ce qu'on va appeler des éventualités. Autre exemple, le jour du deuxième tour de l'élection présidentielle, il n'y a que 2 éventualités. Soit un candidat est élu, soit c'est l'autre.

On va appeler l'ensemble de ces éventualités, l'univers. Et on le note très souvent Ω. Dans le cas du dé, Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} et dans les cas de l'élection Ω = {Candidat n°1, Candidat n°2}.

Ω est donc l'ensemble des résultats possibles dans le cadre restreint que l'on considère pour l'étude.

Maintenant que l'on sait de quoi on parle, on peut définir des évènements à étudier.

Évènements : des parties de l'univers.

Ce que l'on veut c'est étudier les phénomènes qui peuvent survenir dans le cadre imposé par l'univers. On va donc s'intéresser à des évènements qui peuvent se produire.

Évènement élémentaire et évènement général.

L'évènement le plus simple est composé d'une seule éventualité. Un tel évènement est appelé évènement élémentaire. Par exemple, l'évènement "Obtenir un 3" en lançant le dé. Ou l'évènement "Le Candidat n°1 est élu" à l'élection.

Pour autant, tu vois tout de suite qu'il n'existe pas que des évènements élémentaires. Par exemple, "Obtenir un chiffre strictement plus petit que 4" au lancer de dé ne correspond pas à une seule éventualité mais à 3 éventualités.

Plus généralement, un évènement est donc une partie de l'univers. Pour faciliter son usage en maths, on le notera presque toujours avec une lettre et parfois on y ajoutera un indice quand cela s'y prête. Par exemple, on pourrait noter l'évènement "Le Candidat n°1 est élu" C1 et l'évènement "Le Candidat n°2 est élu" C2.

Évènement contraire, le reste de l'univers.

Enfin on peut toujours définir l'évènement contraire d'un certain évènement A. Il correspond au "reste de l'univers" une fois qu'on le retire A. Pour que le lien avec l'évènement A soit clair, on le notera avec une barre \overline{A}.

Par exemple, \overline{C1} est l'évènement "Le Candidat n°2 est élu". Ou si on note Q l'évènement "Obtenir un chiffre strictement plus petit que 4". Alors \overline{Q} est l'évènement "Obtenir un chiffre plus grand ou égal à 4", c'est à dire 4, 5 ou 6. 

Place aux probas maintenant !

L'exemple idéal pour comprendre les probas

Que sont les Probabilités ?

On a parlé du cadre, de ce qui pouvait arriver, maintenant il reste à parler de probabilités. Oui, parce que ce qu'on veut au départ, c'est quand même comprendre les probabilités !

Alors pour commencer, on parle de probabilité d'un évènement. Si tu parles de probas sans parler de l'évènement que tu considères ça n'aura pas sens 🙂

Et qu'est-ce que la probabilité d'un évènement en mathématiques ? Un nombre entre 0 et 1 qui représente les chances que cet évènement se produise.

Pourquoi les probas sont toujours entre 0 et 1 ?

Parce que ça nous simplifie la vie pour les comparer mais pas que 😉

Dans des cas simples comme celui du lancer de dé, tu vois naturellement qu'il va y avoir 1 chance sur 6 de tomber sur le 2 par exemple. Et 1/6 est bien compris entre 0 et 1.

Alors que si je te demande les chances de tomber sur un 8, tu vas me dire qu'il y a 0 chance ! Autrement dit, la probabilité d'un évènement impossible est 0.

A l'opposé, si je te demande les chances de tomber sur un 1, un 2, un 3, un 4, un 5 ou un 6 quand tu lances un dé, il y a 6 chances sur 6. Et 6/6 ça vaut 1. Autrement dit, la probabilité d'un évènement certain est 1.

Tu vois donc que les 2 évènements les plus extrêmes ont des probabilités de 0 (ça n'arrivera jamais) et 1 (ça arrivera toujours), tous les autres évènements auront donc des probas comprises en 0 et 1.

Probas, pourcentage et signification.

Parfois on exprimera les probabilités en pourcentage quand c'est plus parlant. Rien de choquant puisque je te rappelle qu'un pourcentage compris en 0% et 100% est bien un nombre entre 0 et 1. (Si c'est pas clair, ce programme pourrait bien t'être utile !)

Et plus la probabilité d'un évènement sera proche de 1 (ou de 100%) plus il y aura de chances que cet évènement se produise ! Par exemple, un évènement qui a une probabilité de 0.2 a 20% de chances de se réaliser alors qu'un évènement de probabilité 0.9 à 90% de chances de se produire !

Reprends calmement ce qu'on vient de voir si ce n'est pas parfaitement clair ! Parce que sans ça, n'espère pas comprendre les probabilités...

Loi de Probabilité

Dernière chose à connaitre : la loi de probabilité. C'est simplement ce qui relie les évènements et leurs probabilités.

Pour définir un loi de proba, il suffit donc d'associer à chaque évènement élémentaire sa probabilité.

Si on note A_i les évènements élémentaires (autrement dit \Omega = \{ A_1, A_2, A_3, ...\}), on définit la loi de probabilité de cette expérience aléatoire en associant une probabilité p_i à chaque A_i.

Pour que cette loi de probabilités soit valide, il faut respecter les conditions 0 \leq p_i \leq 1, \forall i \in \mathbb{N} et p_1 + p_2 + p_3 + ... = 1.

Rassure-toi si ça te parait barbare, c'est en fait très simple. Par exemple dans le cas d'un univers avec un nombre fini d'évènements élémentaires, il suffit de mettre tout ça dans un tableau. Par exemple :

La loi de probabilité du lancer d'un dé équilibré à 6 faces est donnée par ce tableau.

Face du dé

1

2

3

4

5

6

Probabilité

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Comprendre les probas

Ça suffit pour comprendre les probas ?

Oui et non... C'est la base et il faut vraiment que tu comprennes ça en profondeur ! Les notions ne sont pas hyper complexes mais les rendre complètement claires et les ancrer dans ta tête n'est pas toujours simple.

Un erreur qui revient très souvent est de trouver une probabilité négative ou plus grande que 1 et de croire que c'est possible... Nooon ! Ça par exemple, ça doit être ancré au fin fond de ton cerveau : Une proba c'est entre 0 et 1.

De même, il faut que ça te paraisse naturel de définir l'univers de l'expérience aléatoire que tu es en train de regarder. Quelles sont toutes les éventualités ? Ensuite seulement tu pourras réfléchir aux probabilités. Télécharge la Fiche Récap pour plus d'exemples concrets.

Au final, tout ce qui est dans cet article n'est que la base pour comprendre les probabilités, mais si tu ne comprends pas ça en profondeur, tu ne pourras jamais rien comprendre aux probabilités 😉

Dans le prochain article de cette série, je t'explique tout sur la Loi Binomiale... Mais si t'es pressé, tu peux jeter un œil aux vidéos de la chaine Youtube (Profite-en pour t'abonner) !

Est-ce que cet article t'a aidé à mieux comprendre les probabilités ? S'il reste des trucs pas clairs pour toi, pose-moi tes questions dans les commentaires !

Au plaisir de t'aider à Réussir,
Steven

  • Marion Dey dit :

    Bonjour,

    Je cherche en vain à comprendre l’intervalle de confiance de proportion : la formule simplifiée : p – 1/racine n ; p + 1/racine n ; je ne trouve aucune démonstration et je voudrais comprendre le 1/racine de n. Pourriez – vous m’aider sur ce point ?

    Cordialement

  • Nomi dit :

    À corriger dans cette page: “qu’un pourcentage compris en 0 et 100” devrait être changé pour “qu’un pourcentage compris entre 0/100 et 100/100” puisqu’il s’agit de pourcentage et là bien sûr, un pourcentage est compris entre 0 et 1, tout devient clair.

    • ✪ Steven ✪ dit :

      Hello Nomi,
      En effet, pour être tout à fait exact il faut rajouter le % 🙂
      Je l’ai fait.
      Merci !

  • Soler dit :

    Super l’article merci

    Léa
    19:47
    26/09/2017

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