L’essentiel pour comprendre les suites. (1/4)

Les suites posent beaucoup plus de problèmes aux lycéens que les fonctions... et pourtant leurs concepts ne sont pas si éloignés. Tu fais peut-être d'ailleurs partie de ceux qui m'ont demandé un article sur les suites arithmétiques et géométriques ? Je vais faire mieux, une série de 4 articles qui vont te permettre de bien comprendre les suites !

Dans ce premier article, j'ai condensé l'essentiel de ce que tu dois assimiler pour comprendre les suites numériques. Prends le temps de le lire car sans comprendre ça, n'espère pas comprendre les suites, quelles qu'elles soient...

Je te conseille vivement de lire cet article avant les autres, mais si t'insiste... les autres sont là 🙂 :

Qu'est-ce qu'une suite en maths ?

Qu'est-ce qu'une suite ?

Commençons par le plus absurde, mais qu'on oublie parfois. Au lycée, une suite est une suite de nombres ! Et ces nombres sont la plupart du temps des réels. (Même s'il arrive en Terminale que ce soit des complexes.)

Ensuite, il faut bien voir que ce ne sont pas des nombres au hasard ! Et il existe une relation qui permet de relier tous ces nombres entre eux, de passer d'un nombre au suivant.

Généralement, on te donne le premier terme (=nombre) de la suite et la formule qui te permet de calculer le terme d'après à partir du terme d'avant. Donc, tu vas pouvoir calculer le deuxième terme à partir du premier, le troisième à partir du deuxième, etc.

Parfois on te donnera, ou on te demandera de trouver, une formule générale qui te permet de calculer n'importe quel terme de la suite directement, sans connaitre le terme précédent.

Voilà ce qu'est une suite, rien d'autre. Il faut que tu aies vraiment ça en tête car tout le reste n'est qu'une manière d'écrire ce que je viens de te dire sous une forme mathématique.

Traduction en langage mathématique d'une suite numérique

La traduction en termes mathématiques.

Il a bien fallu traduire en mathématiques tout ce que je viens de te dire pour pouvoir travailler avec ! Concentre-toi bien car c'est ce passage qui va te permettre de bien traduire les énoncés.

Je te l'ai dit, ces suites de nombres ne sont pas aléatoires, et le plus souvent, tu ne peux pas calculer un nombre sans connaitre le précédent. Il y a donc un ordre dans la suite. Et pour marquer cet ordre, on a décidé d'indicer chacun des termes de la suite par son rang. 

Indice et rang d'un terme de la suite.

Appelons la suite U car il faut bien lui donner un nom pour travailler avec ! Et décidons de prendre 0 comme indice du premier terme. Alors U_0 est le premier terme de la suite. Ou on peut aussi dire que c'est le terme de rang 0.

Ensuite, on aura donc U_1 qui sera le deuxième terme, U_2 le troisième, etc. Ou encore, U_1 le terme de rang 1 et U_2 le terme de rang 2...

Remarque : Appeler la suite U et commencer au rang 0 est une convention quasiment tout le temps respectée. Mais note qu'on aurait pu appeler la suite Q et décider que l'indice du premier terme était 2. Dans ce cas, Q_2 aurait été le premier terme de la suite tout en étant celui de rang 2, Q_3 le deuxième (de rang 3), etc. La traduction en mathématiques n'est qu'une question de définition au départ. 

Terme général de la suite et relation de récurrence.

Et maintenant, on veut pouvoir écrire la formule générale qui donne le terme d'après en fonction du terme d'avant. Pour cela, on choisit une lettre qui représente le rang et le plus souvent, on prend n. Donc U_n est le terme de rang n. Quel est le terme suivant ? U_{n+1} puisque c'est bien le terme de rang n+1.

Avec ces notations, tu vois qu'il est possible d'écrire mathématiquement la relation entre un terme et son suivant. Il suffit d'écrire une formule qui relie U_{n+1} à U_n. C'est ce qu'on appelle la relation de récurrence.

La plupart des suites sont définies de cette manière : un terme initial et une relation de récurrence entre un terme et son suivant. C'est la définition classique par récurrence. 

Cependant il arrive que la suite soit directement définie par une formule générale qui te donne U_n en fonction de n. Dans ce cas, tu peux calculer tous les termes de la suite, à n'importe quel rang, sans avoir besoin du terme précédent. Et la différence avec une fonction devient alors très faible...

Les 3 notions à bien assimiler si tu veux comprendre les suites en maths !

LA distinction à bien maitriser si tu veux comprendre les suites !

Pour le moment, je t'ai parlé de ce qu'était une suite et de comment on la notait en termes mathématiques. Et il faut que aies bien compris cela pour continuer. Si ce n'est pas le cas, prends le temps de relire les deux parties précédentes.

Dans ce qui suit, je te donne et j'insiste sur la distinction que tu dois absolument assimiler pour bien comprendre les suites et savoir les manipuler. Ne survole pas cette partie, c'est la plus importante 🙂 !

Faire la distinction entre l'indice n et la valeur n...

C'est LA faute n°1 des lycéens quand il faut travailler avec les suites ! La lettre n est à la fois utilisée comme indice des termes de la suite et comme valeur dans les formules. Et ça en embrouille plus d'un...

Et le problème arrive dès il faut remplacer n par n+1 ou par un chiffre quelconque. C'est là qu'il faut bien avoir compris ce qu'il y a derrière n et donc la partie précédente 🙂 !

Pour comprendre les suites, il faut savoir distinguer quand n est utilisé comme indice ou comme valeur. Besoin d'aide ?

Tweete ce message !

Comment savoir quand c'est un indice ou une valeur ?

  • Quand n est utilisé comme indice, il est toujours "collé" à la lettre qui représente la suite. Par exemple, U_n. Et dans ce cas, tu ne dois pas l'isoler de la suite puisqu'il représente le rang du terme de la suite. Et c'est ce terme qui est utilisé dans la formule et non n tout seul.
  • Si il ne suit pas directement la lettre représentant la suite, alors c'est qu'il est utilisé comme valeur. Tu ne peux pas faire autrement puisqu'il n'est pas relié à une suite. Dans ce cas, c'est exactement comme quand tu utilises x dans la formule d'une fonction...

Encore une fois, ne t'accroche pas aux lettres que j'utilise. Elles ne servent qu'à représenter ce dont on parle. Par exemple, l'indice pourrait être m ou q et la suite pourrait s'appeler B ou X. Ce qui donnerait des Q_mQ_qB_m ou B_q. Pour autant on parlerait toujours de la même chose...

Distinguer les deux sur un exemple :

Le plus simple c'est de regarder tout de suite un exemple qui utilise les deux :

  • Quand j'écris U_{n+1} = nxU_n+ 11n, tu dois comprendre que n est utilisé comme indice dans les termes en rouge et comme valeur quand il est bleu.
  • Si tu dois calculer le terme U_{20} grâce à cette formule, tu dois identifier U_{20} à U_{n+1}. Donc pour calculer U_{20}, il faut mettre n=19 dans la formule, soit : U_{20} = 19xU_{19} + 11x19.
C'est tout ce qu'il faut comprendre ?

C'est tout ce qu'il faut comprendre ?

Oui ! Ou plus précisément, si tu ne comprends pas les quelques notions que j'ai détaillées dans cet article, tu ne pourras pas être à l'aise avec les suites. La distinction indice/valeur est vraiment le truc le plus important avant de pouvoir aller plus loin avec les suites. 

C'est pour ça que pour une fois, j'ai fait un article (presque) court ! Dans les autres articles de la série, on rentrera dans le détails des suites arithmétiques et géométriques et du raisonnement par récurrence. Mais si tu ne maitrises pas ce premier article, tu ne pourras pas espérer comprendre les suites.

Est-ce que tu vois mieux pourquoi cette distinction est super importante ? Et comment tu peux la faire ? Si ce n'est toujours pas clair, dis-moi ce qui te bloque dans les commentaires !

Au plaisir de t'aider à Réussir,
Steven

Laisse un commentaire 0 commentaires

Laisse un commentaire: