Mais que représentent les limites de fonctions ?

Steven - les Maths en Tongs
Mais que représentent les limites de fonctions ?
Steven - les Maths en Tongs Mais que représentent les limites de fonctions ?
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Pour beaucoup de lycéens, les limites de fonctions sont un truc obscur de plus dans les Maths de Lycée. Un truc avec des calculs souvent complexes, pour lesquels il faut des astuces bizarres et tout ça, sans lien clair avec la fonction étudiée. Même si la grande majorité des lycéens, et c'est sûrement ton cas, sait qu'il existe un lien fort entre les limites et la courbe représentative d'une fonction, il est souvent flou et carrément invisible au moment de faire le calcul de limites.

Dans cet article, je te donne la vision globale que tu devrais avoir sur les limites de fonctions pour bien comprendre ce que tu fais et te rendre la vie bien plus simple ! Comme d'hab, une Fiche Récap est là pour te fournir une vision concentrée de ce que cet article contient alors profite-en.

Comment ne plus être largué ?

Comment ne plus être largué ?

Il n'y a qu'une seule façon pour être moins largué, et elle est débile : c'est comprendre ce que tu es en train de faire quand tu calcules des limites de fonctions ! Et quand je dis comprendre, je veux dire imaginer graphiquement ce que ça veut dire. Pour ça, il faut bien avoir compris ce que sont les fonctions, donc si ce n'est pas ton cas, je t'invite à lire cet article avant de commencer celui-ci.

Si pour toi, les limites sont abstraites...

Dans ce qui suit, je vais faire tout mon possible pour te montrer que les limites ne sont pas des notions abstraites qui n'ont pas de sens. En fait, calculer une limite c'est chercher le comportement d'une fonction quand on se rapproche d'un point ou de l'infini. Et le comportement d'une fonction, ça veut dire comment elle évolue : est-ce qu'elle explose ? autrement dit elle tend vers l'infini ou au contraire est-ce qu'elle se rapproche aussi près qu'on veut d'un chiffre ? Ce n'est donc pas juste un calcul abstrait, mais bien quelque chose que tu vas pouvoir voir de tes propres yeux !

Ignore le vocabulaire, le concept de limite est un truc simple !

Comme souvent en Maths, le vocabulaire est une source de confusion qui rend les choses plus complexes qu'elles ne le sont vraiment. De toute façon, c'est humain, quand on entend un mot nouveau (ou nouveau pour le contexte) on se dit ‹‹ mais qu'est ce que c'est que ce truc encore ? ››. Pourtant dans la plupart des cas, ce n'est que du vocabulaire inventé pour simplifier les discussions et ne pas avoir à utiliser plusieurs phrases pour le nommer.

Typiquement, quand on te parle de limites de fonction, en a ou en l'infini, tu dois simplement te dire : ‹‹ Ok, je vais regarder quelles valeurs prend la fonction quand les valeurs de x se rapprochent de a ou de l'infini ›› ! Ou si tu préfères la vision graphique : ‹‹ Si je reste sur la courbe représentative de la fonction et que je me rapproche de a ou de l'infini, quelles sont les valeurs f(x) auxquelles j'arrive ››. Mais si pour toi le lien entre fonctions et courbe représentatives n'est déjà pas très clair, lis l'article sur les fonctions avant d'aller plus loin.

Le lien entre courbes et limites de fonctions.

Le lien entre courbes et limites de fonctions.

Tu l'auras compris, pour bien appréhender les limites tu dois toujours avoir en tête ce qu'elles représentent graphiquement. Ensuite tu n'auras plus qu'à assurer en calcul pour arriver aux résultats. Ce n'est pas toujours simple, mais comme je te le dis dans l'ebook (gratuit...) ‹‹ Comment Booster Tes Notes dès le prochain DS ››, tu dois maitriser les bases si tu veux réussir !

A quoi correspond une limite quand x –› a ?

Pour commencer, quand je parle de "a", je parle d'un réel, n'importe lequel, mais ce n'est pas ±∞. Autrement dit, calculer la limite d'une fonction quand x tend vers a, ça veut dire regarder vers quelles valeurs tend la fonction quand les valeurs de x se rapprochent de a. Note bien qu'on peut se rapprocher d'un réel a par la gauche ou par la droite. Autrement dit en termes mathématiques, par valeurs négatives ou positives. Il n'y a que deux cas à regarder, soit la fonction (notons-la f) est définie en a, soit elle ne l'est pas.

Cas d'une fonction définie en a.

Dans ce cas, rien de plus simple ! Puisque la fonction est définie en a, ça signifie que f(a) existe donc quand va tendre vers a, f(x) va simplement tendre vers f(a) ! C'est tout 🙂

Cas d'une fonction non définie en a.

Tu le sais, si la fonction n'est pas définie en a, les choses deviennent plus complexes. Typiquement, c'est le cas quand il y a une division par (x-a) dans la fonction que tu regardes. Étant donné qu'on ne peut pas diviser par 0, la fonction ne sera pas définie en a. Et dans ce cas, chercher la limite en a va correspondre à chercher ce que fait la courbe représentative de f quand on la regarde pour des valeurs de x très proches de a. Et là encore, il n'y a que deux possibilités. Soit elle part vers ±∞, soit elle tend vers une valeur finie !

Si elle part vers l'infini...

Pour le cas, d'une limite en a qui tend vers l'infini, tu dois avoir en tête l'exemple parfait : f(x) = 1/x quand x –› 0. Par valeurs négatives, la courbe part vers -∞ et par valeurs positives elle tend vers +∞. C'est ce qui arrive le plus souvent quand t'as un division par (x-a), la fonction ‹‹ explose ›› quand tu te rapproches de a. Attention je n'ai pas dit que ce serait toujours le cas. Et encore moins qu'elle partirait toujours vers -∞ à gauche et +∞ a droite, toutes les situations sont bien sûr possibles 🙂 !

Par contre, dans tous les cas où la limite est ∞ à gauche et/ou à droite, on dira que la courbe admet une asymptote verticale d'équation x=a. Ce qui veut dire que la courbe représentative de la fonction va venir se coller le long de la droite (verticale) d'équation x=a quand les valeurs de x se rapprochent de a.

Illustration d'une limite finie en a=1 et infinie en a=3.
Illustration d'une limite finie en a=1 et infinie en a=3. (clique pour zoomer !)
Si elle tend vers un réel.

C'est une situation plus rare mais ça existe, donc il faut le savoir ! Il est possible que la fonction ne soit pas définie en a et que pour autant la fonction admette une limite finie en a. Autrement dit, que limite quand x –› a = ll est un réel aussi. Si tu veux un exemple, regarde cette vidéo ! Et en complément, tu peux jeter un œil à ce GeoGebra. En effet, la fonction en question n'est pas définie en 2 mais comme tu peux le voir, elle ne tend pas vers l'infini pour autant !

Et c'est pareil quand x –› ±∞ ?

Maintenant regardons les limites en ±∞. C'est moins facile à visualiser... car on a un peu de mal à regarder sur un graphique ce qu'il se passe en l'infini 😉 ! Pour autant, la plupart du temps il n'y a pas besoin d'aller ‹‹ jusqu'a l'infini ›› pour voir ce qu'il se passe. Et heureusement ! Là aussi, il n'y a que deux cas possibles. Soit les valeurs de la fonction tendent vers un réel, soit elles partent vers ±∞.

Si elle part vers l'infini...

Il y existe une traduction simple de ‹‹ limite quand x –› +∞ de f(x) = +∞ ›› : plus on va prendre des valeurs de x grandes, plus les valeurs de f(x) seront grandes (et positives). De même,  ‹‹ limite quand x –› +∞ de f(x) = -∞ ›› signifie que plus on prend des valeurs de x grandes plus les valeurs de f(x) seront grandes aussi, mais négatives cette fois !

Attention : j'entend souvent que -∞ est très petit... non 0 est très petit ! Pour t'en rappeler, c'est facile : dans -∞ y'a infini et l'infini c'est grand !

Et graphiquement ça veut dire quoi ? Que plus on agrandira le graphique sur lequel on trace la courbe, plus la courbe ira haut (pour +∞) ou bas (pour -∞). C'est un peu comme le nombre de lignes d'une feuille Excel, plus tu descends plus il y en a ! Si tu veux un exemple plus terre à terre, en voilà un. Si tu connais la fonction qui te donne le nombre de calories que tu dépenses en courant en fonction du temps que tu passes à courir, disons c(t), eh bien plus t devient grand, plus tu meurs plus le nombre de calories c(t) devient grand aussi. Autrement dit, plus la courbe monte haut sur le graphique.

Si elle tend vers un réel.

Tu le sais, il arrive aussi que la limite quand x tend vers l'infini soit finie. Autrement dit, que les valeurs de la fonction tendent vers un réel, souvent noté l comme limite. D'ailleurs, c'est plus simple à s'imaginer que les ∞. Et je vais reprendre l'exemple de 1/x, car en ±∞ elle tend vers 0. Et je crois que tu vois bien à quoi ça ressemble.

Pour une limite qui vaut l, la courbe de la fonction va venir "s'écraser" le long de la droite d'équation y=l. C'est à dire la droite parallèle à l'axe des abscisses et qui coupe l'axe des ordonnées en l. Donc on va dire que la courbe représentative de f admet une asymptote horizontale d'équation y=l.

Et ce que ça veut dire mathématiquement, c'est que plus tu vas prendre des valeurs de x grandes (pour une limite en +∞), plus les valeurs de f(x) vont être proches de l. Puisqu'on on travaille avec des réels, on peut être aussi proche qu'on veut sans jamais être égal à l. C'est pour ça qu'on parle de limite. Si on pouvait ‹‹ atteindre l'infini ›› la fonction f aurait la valeur l.

Pour finir, je t'invite à regarde cette vidéo car elle illustre parfaitement tout ce qu'on vient de voir !

Reviens toujours à des choses simples !

Reviens toujours à des choses simples !

Après tout ce que je viens de raconter, tu te dis peut-être : ‹‹ il est bien gentil mais quand je dois calculer une limite, ça va pas me servir à grand chose... ››. C'est pourquoi maintenant je vais te parler de ce que tu dois avoir en tête au moment de calculer des limites de fonctions !

Quelques astuces pour éviter de te planter...

‹‹ Division par une Limite Nulle ››  =  ‹‹ Multiplication par une Limite Infinie ››

Depuis toujours, tu sais que tu ne peux pas diviser par 0. Mais ici on parle de limite, ce qui veut dire que ce ne sera jamais vraiment 0 mais un chiffre qui se rapproche aussi près que tu veux de 0. Autrement dit on va diviser par un nombre de très très petit... ce qui revient à multiplier par un nombre de très très grand. Et c'est ça que tu dois retenir !

Comment t'en rappeler ? Prend un très petit chiffre sous forme de puissance genre 10^{-10} et prends son inverse : 1/10^{-10} = 10^{10} et c'est plutôt très grand ! Et le signe dans tout ça ? Il dépend de si tu te rapproches de 0 par valeurs positives (0+) ou négatives (0-). Soit tu vas avoir un très très grand chiffre positif (+∞), soit un très très GRAND chiffre négatif (-∞).

Conclusion, quand tu regardes un quotient de limite dont celle d'en bas tend vers 0+, ça revient en fait a regardé la multiplication de la limite du haut avec une limite +∞. Et vice-versa pour 0- et -∞. Ensuite, il ne te reste qu'à voir si c'est une forme indéterminé avec des ±∞ ou pas.

‹‹ Division par une Limite Infinie ››  =  ‹‹ Multiplication par une Limite Nulle ››

Si tu reprends le même raisonnement mais à l'envers. Quand tu vas diviser par une ∞, donc très très grande, ça va revenir à multiplier par une limite très très petite, donc nulle ! S'il te plaît, prends le temps de bien comprendre ça. Sur un brouillon, regarde ce que donne la division d'un nombre fixé, par exemple 10, quand tu le divises par un nombre de plus en plus grand. Commence avec 1, puis 2, puis 10, puis 100, puis 1000. Tu obtiens 10, 5, 1, 0.1, 0.01... etc ! Tu tends bien vers 0, et surtout pas vers -∞ 😉

Tout le reste est logique... Si, si !

Pour le reste ? Il te suffit de retenir que la limite d'une (somme | soustraction | division | multiplication) de fonctions est la (somme | soustraction | division | multiplication) de ses limites. Si en plus de cela, tu utilises ce que je viens de te donner, tu pourras calculer les limites dans tous les cas sauf les 2 formes indéterminées dont je parle tout de suite.

On t'a donc menti... il n'y a que 2 formes indéterminées !

Si tu utilises les transformations de limite que je viens de te donner, tu verras que tout est plus simple. Par exemple, tu peux en déduire tout ça (et bien d'autres...) facilement :

  • ‹‹ l / ±∞ ›› est équivalent à ‹‹ l * 0 ›› et ça vaut donc 0 comme tout ce qui est multiplié par 0 est nul.
  • ‹‹ l / 0+ ›› est équivalent à ‹‹ l * +∞ ›› donc ±∞ suivant le signe de l
  • ‹‹ ±∞ / 0+ ›› est équivalent à ‹‹ ±∞ * +∞ ›› donc ±∞ suivant le signe du premier infini
  • ‹‹ 0 / ±∞ ›› est équivalent à ‹‹ 0 * 0 ›› et ça vaut donc 0.

Au final, il ne te restera que 2 formes indéterminées :

  • La multiplication d'une Limite Nulle par une Limite Infinie
  • La soustraction de deux Limites Infinies de même signe

Et on en parle tout de suite... Mais avant télécharge la Fiche Récap. si tu veux avoir une version compacte de ce que tu viens de lire 😉

Ok, mais ça donne quoi dans les exos ?

Ok, mais ça donne quoi dans les exos ?

Maintenant que tu as tout ce qu'il faut en tête, il ne te reste qu'à appliquer tout ça ! Pour y arriver, il va te falloir ne pas être trop mauvais en calcul... mais ça c'est la base pour tout ce que tu fais en Maths.

Il n'y a qu'une seule chose vraiment difficile avec les limites : faire sauter les indéterminations ! Tout le reste est du calcul classique, en tout cas si tu as bien en tête ce que je t'ai présenté juste avant. Par contre, pour faire sauter les formes indéterminées, ça peut vite devenir galère même si il y a 2-3 méthodes qui reviennent tout le temps.

Par exemple, utiliser les identités remarquables pour faire sauter les racines, remarquer que c'est la limite d'un taux d'accroissement pour utiliser la dérivée ou encore factoriser les polynômes par le plus haut degré. Je ne te détaille rien ici, mais je te dis tout de suite où tu peux en trouver des exemples !

Envie de voir ce que ça donne sur des exemples concrets ?

Depuis peu, je mets des vidéos sur YouTube de sessions skype avec une de mes élèves pour que tu puisses avoir des exemples de ce que je te raconte sur des exemples concrets ! Tu y trouveras tout un tas d'exemples de limites dès aujourd'hui. Et je vais alimenter cette chaîne le plus possible pour te donner gratuitement de quoi comprendre rapidement donc...

Et s'il te reste des trucs qui ne te paraissent pas clairs dans ce que je t'ai raconté, utilise les commentaires ci-dessous pour me demander des explications !

Au plaisir de t'aider à Réussir,
Steven

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