Quel algorithme écrire pour trouver le plus petit entier n tel qu’une suite Un définie explicitement soit… ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir quel algorithme écrire pour trouver le plus petit entier naturel n tel qu’une suite Un définie explicitement soit plus petite ou plus grande qu’un certain nombre.

Un, suite définie explicitement.

On va donc prendre une suite Un définie explicitement. Qu’est ce que ça veut dire ? Ça veut dire qu’on va pouvoir calculer Un simplement en fonction de n.

Alors par exemple ici, ce qu’on peut prendre c’est 100/n. 100/n c’est tout simple, c’est une suite définie, n il appartient aux entiers naturels. Bien sûr, on ne prend pas 0 ici pour ne pas diviser par 0. Donc tu vois que U1 c’est 100, U2 c’est 50, etc, etc.

Et la question qu’on va se poser c’est quel est le plus petit entier n tel que Un soit plus petit que 0,3. Et donc là on va regarder Un ! C’est une suite décroissante ici, je te laisse le montrer toi même, tu sais faire ça.

Trouver le plus petit entier n tel que la suite Un définie explicitement soit plus petite… Quel algorithme ?

On pourrait prendre n’importe quoi ici, ça n’a aucun intérêt. Tout ce qui m’intéresse c’est qu’on cherche le plus petit entier n… C’est à dire le premier indice de la suite, le premier rang de la suite, tel que Un soit plus petit que quelque chose.

Ici, il va nous falloir encore une fois, deux variables pour stocker tout ça. Premièrement on va stocker le rang de la suite. Deuxièmement on va stocker la valeur du terme de la suite à ce rang là.

Initialisation.

Donc pour ça, on va utiliser n, une variable n qu’on va initialiser à 1 ici puisqu’on a dit : n égal à zéro, eh bien le terme n’est pas défini. Le premier terme de la suite c’est le terme de rang 1. Et U, on va l’initialiser donc à U1, U1 vaut 100/1, donc il vaut 100. d’accord ? Donc ça c’est notre initialisation.

Récurrence.

Et maintenant on va vouloir calculer tous les termes de la suite en mettant à jour le rang de chacun de ces termes de manière à savoir quel est le rang le plus petit tel que Un soit plus petit que 0,3.

La condition ?

Donc ici, on va encore faire une boucle « tant que » puisqu’on ne connaît pas le nombre d’itérations qui va falloir faire ! Alors « tant que » quoi ? Eh bien on va avoir U, on va avoir 0,3 évidemment.

Et donc là, le signe entre les deux… c’est toujours à ça qu’il faut faire attention ! Bon il y a plusieurs façons de faire les choses, je vais te dire une façon bête de faire les choses.

Méthode 1

U vaut 100 à cet endroit là, s’il vaut 100 et que tu veux rentrer dans la boucle, ici c’est nécessairement plus grand que 0,3. Si tu mets U plus petit que 0,3, tu rentreras pas dans la boucle puisque U vaut 100 au départ.

Méthode 2

L’autre façon de faire c’est que évidemment, tu veux calculer tous les termes tant que U est plus grand que 0,3. Puisque quand tu vas arrêter de calculer les termes, U sera plus petit que 0,3 ! Et c’est ce que tu cherches.

Mise à jour.

Dans cette boucle qu’est ce qu’on va faire, eh bien on va mettre à jour le rang, et on va mettre à jour le terme. Et pour ça, on va utiliser la formule explicite qu’on a.

Quand on en sera là, on pourra trouver la suite. Alors, on met à jour le rang de la suite. Bon ici, rien de spécial, le rang du terme suivant eh bien c’est simplement n+1 qu’on va affecter à la variable n, on va remplacer n par n+1.

Vérification à la main.

Et pour U, on va utiliser directement le formule explicite qu’on a ici. Donc U est égal à quoi ? Il est égal à 100/n. On vérifie que ce qu’on est entrain de faire ça marche, n=1, U=100. Donc ça c’est bien U1.

U est bien plus grand que 0,3. La condition est vérifiée ici puisque U vaut 100, donc on rentre dedans. Donc on dit n ça devient n+1. Alors ici c’était 1, donc n+1 ça vaut 2, donc n maintenant c’est 2, et U c’est égal à 100/2, si on vérifie la formule ici, 100/2 c’est bien U2.

Donc si on avait U1, maintenant on a U2, donc ça c’est bon. U2 vaut 100/2, donc il vaut 50. On arrive à la fin de la boucle, on regard. 50 est-il plus grand que 0,3 ? Oui, c’est plus grand que 0,3.

Donc on met à jour, n devient 3, et on va avoir U=100/3 qui vaut 33,333333 et on va continuer. Donc on va continuer comme ça jusqu’à temps qu’on trouve U puisque ça c’est décroissant, U va bien devenir plus petit que 0,3 à un moment.

Résultat ?

Quand U est plus petit que 0,3, eh bien on ne rentre plus dans la boucle puisque la condition n’est plus vérifiée. Autrement dit, on sort directement ici et on va afficher le rang de ce terme. Afficher n.

En affichant le rang de ce terme, on va avoir le rang le plus petit tel que U soit plus petit que 0,3 qui répond donc à notre question ici.

Voilà l’algorithme qui va te permettre de trouver le plus petit entier naturel n tel que Un soit plus petit que 0,3 sachant que la suite Un est définie explicitement ici.

Résumé 🙂

On a toujours les mêmes trois étapes. L’initialisation, ensuite on a la boucle de calcul ici, c’est à dire qu’on va calculer chacun des termes de la suite, des termes Un, et enfin on a l’affichage du résultat qu’il faut absolument pas oublier puisque ici la vrai question c’est quel est le plus petit entier naturel n.

Ici j’ai fait avec plus petit ou égal à 0,3. Évidemment suivant la suite ça pourrait être plus grand ou égal à quelque chose, ou strictement plus grand que quelque chose, peu importe.

La structure de ton algorithme sera toujours la même. Tu initialises tes termes au premier rang de la suite, ici c’était n=1, ensuite tu fais le calcul de chacun des termes un par un jusqu’à temps que tu dépasses ou tu sois en dessous de ce que tu cherches, et à la fin tu affiches ton résultat.

Voilà l’algorithme que tu dois écrire pour trouver le plus petit entier naturel n tel qu’une suite définie explicitement soit plus petite ou plus grande qu’un certain nombre.

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