Comment résoudre une équation contenant à la fois ln(x)^2 et ln(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment on peut résoudre une équation dans laquelle on a à la fois ln(x)^2 et ln(x).

On va donc s’intéresser à une équation contenant à la fois ln(x)^2 et ln(x) et ça va marcher dans la plupart des cas. Mais il peut arriver, suivant la forme de l’équation (s’il y a plus que ça) que ça ne marche pas.

Regardons un exemple

Donc ici on va prendre un exemple, on va partir sur (ln(x))^2 + ln(x) – 2= 0. Donc là tu vois qu’on a une équation, et on a un terme constant ici.

Si on n’a pas ce terme constant on peut factoriser par ln(x), on pourra arriver à une solution mais c’est pas ça qui nous intéresse ici.

On va avoir un terme constant, on ne peut donc pas factoriser par ln(x), et on peut pas non plus écrire ça ln(premier terme) = ln(deuxième terme).

Changement de variable.

Puisque ici on n’a aucune formule, ln(x) au carré c’est ln(x)*ln(x), et pour ça on n’a pas de simplification possible. Donc ce qu’on doit reconnaître ici, en fait, c’est qu’on a quelque chose de la forme un « truc au carré » + « ce même truc » – 2 = 0 et ce truc là, ce grand X, c’est ln(x).

C’est ce qu’on appelle un changement de variable. C’est à dire qu’on passe de la variable x, à la variable grand X, en posant X= ln(x).

Domaine de résolution.

Ici le domaine de résolution de notre équation, il dépend juste du ln, donc il faut que le ln soit bien défini. Autrement dit, il faut que x soit strict positif.

Le domaine de résolution c’est donc R+*. Quand on a ce domaine de résolution, on peut résoudre l’équation ln(x)^2 + ln(x) – 2 = 0.

Comment résoudre l’ équation ln(x)^2 + ln(x) – 2 = 0 grâce au changement de variable ?

Alors ici on sait résoudre l’équation X^2 + X -2 = 0 de façon plus générale puisqu’ici si X appartient à R on sait le résoudre. On a un polynôme de degré 2, on fait b^2-4ac… Donc 1-4*1*(-2) ça fait 9.

Et les racines vont être données par -b, donc -1, ± √9 sur 2a, donc deux. Ca, ça nous donne quoi ? Ca nous donne -1+3, ça fait 2, sur 2 ça fait 1. Et puis donc X1 = 1. Et puis X2 = (-1-3)/2 = -2. Ca fait -2. Donc là on arrive à 2 solutions pour l’équation orange.

Retour à l’équation de départ.

Et maintenant il faut revenir à l’équation de départ, c’est-à-dire en petit x. Comment est-ce qu’on fait ça, eh bien, on va avoir X1 = ln(x1) = 1 et X2 = ln(x2) = -2 si je me trompe pas donc 1 et-2.

Et maintenant on va trouver x1 et x2. Donc là on oublie cette partie ici, qu’on s’en moque finalement. Et ce qu’on veut c’est ça, donc ln(x1) =1, ça nous donne quoi, ça nous donne x1 = exp(1). le 1 n’est pas obligatoire ici, mais c’est pas très important.

Ainsi que x2 égal, de la même façon, exp(-2). Donc là, on a trouvé deux solutions. Alors est-ce que ces solutions font bien partie du domaine de résolution ? Oui !

Puisque exponentielle, c’est toujours strictement positif. Donc ici on a deux solutions et les solutions c’est l’ensemble {exp(1), exp(-2)}.

La conclusion !

Autrement dit, quand tu veux résoudre une équation contenant à la fois ln(x)^2, et du ln(x), une bonne façon de faire, la plus part du temps (à partir du moment où tu ne peux pas factoriser par ln(x) bien sûr) ça va être de remplacer ln(x) par une certaine variable X de manière à retomber sur un polynôme de degré 2.

A partir de là, tu résous ton polynôme de degré 2, pour la variable X et ensuite tu reviens à la variable x en te rappelant comment tu as posé les choses.

Voilà comment tu peux faire pour résoudre une équation contenant à la fois ln(x)^2 et du ln(x).

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