Comment trouver le domaine de résolution d’une équation contenant un logarithme népérien, ln ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment trouver le domaine de résolution d’une équation contenant un logarithme ou des logarithmes népérien.

Qu’est-ce que le domaine de résolution ?

Ce qui nous intéresse ici, c’est le domaine de résolution d’une équation avec des ln. Alors le principe il est simple, qu’est ce qu’on sait ? On sait que la fonction ln(x) est définie pour x strictement positif.

Si je le dis autrement, la fonction ln prend des valeurs qui sont strictement positives. Donc ce qui est dans le ln doit être strictement positif.

Ce qui veut dire que pour trouver le domaine de résolution d’une équation qui contient un logarithme népérien : on va regarder les valeurs de x telles que le ln soit bien défini.

Comment trouver le domaine de résolution d’une équation avec un logarithme népérien : Exemple 1 !

Alors je vais prendre un exemple, ce sera beaucoup plus parlant. On va faire ça sur un exemple tout simple au début, on va dire ln(2x+3) = 4.

Première remarque.

Alors est-ce que cette équation est définie pour tout x ? Non, puisque si par exemple x = -10, tu vois que ça fait moins 20 + 3 donc -17. Et ln(-17) n’est pas défini, ça n’existe pas !

Comment trouver le domaine de résolution alors ?

Donc ici pour trouver le domaine de résolution, ce que tu vas faire c’est que tu vas devoir t’assurer que les valeurs de x du domaine de résolution font que ce qui est à l’intérieur du ln soit positif !

C’est la contrainte qu’on a utilisée ici. Les valeurs de x pour lesquelles cette équation est bien définie : c’est les valeurs de x qui vérifie que 2x + 3 plus grand que 0.

Autrement dit, 2x est plus grand que -3, et donc x est plus grand strictement que -3/2. Donc x > -3/2, c’est la même chose que x appartient à [-3/2, +∞[.

D’accord donc ce domaine ici, puisqu’on a aucune autre contrainte sur l’équation, est le domaine de résolution de l’équation qui nous intéresse.

Comment trouver le domaine de résolution d’une équation avec un logarithme népérien : Exemple 2 !

Et c’est intéressant d’aller un peu plus loin que ça et de regarder une équation peu plus complexe. Par exemple, on va garder le 2x+3 parce que ça me facilite la vie, et derrière je vais dire, par exemple ici, -x+5.

Là maintenant, j’ai cette équation là et je veux regarder les contraintes qui sont liées à cette équation. Donc j’ai dit il faut que ce qui est dans le ln ici soit positif, et que ce qui est ici soit positif.

D’accord, donc le domaine de résolution il est défini par les x qui vérifient à la fois 2x+3 positif ET (et ça c’est très important) -x+5 positif.

Alors ça on a dit c’est x plus grand que -3/2. Et ici on fait passer le x de l’autre côté, ça revient à dire que x est plus petit que 5.

D’accord donc pour que le ln de gauche soit défini, il faut que x > -3/2 et pour que le ln de droite soit bien défini, il faut que x < 5.

Dessiner pour visualiser !

Alors la meilleure façon de voir les choses ici, c’est de les dessiner. Donc si je prends un axe comme ça et puis je défini le 0 ici, puis on va dire là -1, -2, etc. Donc -3/2 c’est ici, c’est -1,5. Et puis ici on va avoir 1, 2, 3, 4, 5, etc. Et on a x=5 ici.

Donc si je regarde la première équation on a dit, le premier ln est défini pour x plus grand que 3/2. Donc en gros il est défini pour tous les x qui sont à droite de la valeur -3/2 que je viens de dessiner.

En revanche maintenant le ln de droite, il faut qu’il soit plus petit que cinq pour qu’il soit défini. Donc c’est toutes les valeurs plus petites que 5. Et là la chose importante c’est le ET ici !

Pour que cette équation soit bien définie, il faut à la fois que ce ln là soit bien défini et que celui-ci aussi. Autrement dit, il faut à la fois que x soit plus grand que -3/2, et que x soit plus petit que 5.

Alors à quel moment on est à la fois l’un et l’autre, eh bien, quand ça se superpose. Donc d’ici à ici. Autrement dit si on traduit ça en intervalles, c’est ]-3/2, +∞[ inter, ça c’est la traduction de ET en termes d’intervalle, ]-∞, 5[.

Et le domaine de résolution est…

On prend pas le 5 non plus. Qu’est ce que c’est l’intersection, c’est ce que j’ai dessiné ici, et donc ça c’est rien d’autre que l’intervalle ]-3/2, 5[. Donc notre domaine de résolution de l’équation ici, c’est ]-3/2, 5[.

Conclusion

D’accord quand tu as une équation et que tu dois trouver son domaine de résolution, et que cette équation contient un logarithme népérien. Qu’est-ce que tu fais ?

Tu t’assures des conditions sur l’inconnue pour que ce qui est à l’intérieur des ln soit positif ! Si t’en as plusieurs attention c’est bien un ET entre les deux, donc tu vas prendre l’intersection entre les différents domaines.

Voilà comment tu veux trouver le domaine de résolution d’une équation qui contient un logarithme népérien.

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