Comment montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux grâce aux nombres complexes ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux grâce aux nombres complexes, et donc à leurs affixes.

Le cadre.

Prenons un vecteur u d’affixe z et un vecteur v d’affixe z’, et on va vouloir montrer que les deux vecteurs sont orthogonaux. Donc deux vecteurs orthogonaux, je te rappelle que ça veut simplement dire que l’angle entre les deux c’est un angle droit, d’accord ?

Orthogonalité entre vecteurs

Si ici on a ces deux vecteurs, et qu’ils forment un angle droit. Ça c’est u et ça c’est v, eh bien u et v sont orthogonaux. Ce qui a équivaut à dire que l’angle entre u et v, donc l’angle entre les deux vecteurs, est égal à π/2.

Et évidemment ici attention, on met [π] et pas [2π] puisque ça pourrait être -π/2 ici, ça dépend si v il est là ou si v il est ici. Si v il est en dessous, eh bien l’angle c’est -π/2, donc il faut bien faire attention aux modulo.

Là, on va utiliser ce qu’on a vu dans la vidéo précédente pour regarder ce qu’est l’angle (u,v). Eh bien l’angle (u,v), on a dit c’est arg(z’/Z). Et ce qu’on veut ici c’est montrer que les deux vecteurs sont orthogonaux grâce à ça.

Autrement dit, on veut dire que cet angle là, c’est π/2 ou moins -π/2. Alors dans quel cas l’argument d’un nombre complexe est π/2 ou -π/2 ? Eh bien je vais te tracer ça tout de suite ici.

Soit l’argument vaut π/2, soit l’argument vaut -π/2. Les seuls points qui ont un argument π/2 ou -π/2 c’est tous les points qui vont être sur l’axe des ordonnées. Autrement dit, tous les nombres imaginaires purs.

Comment montrer que 2 vecteurs sont orthogonaux grâce à leurs affixes ?

Donc qu’est ce que je te montre ici ? Je te montre que pour que l’argument d’un nombre complexe soit π/2 [π], il faut que ce nombre complexe en fait, soit un imaginaire pur.

Comme ici on veut montrer que l’angle (u,v) est bien π/2 [π], ça va vouloir dire que l’argument de z’/z est π/2 [π]. Autrement dit que z’/z est un imaginaire pur.

Autrement dit, si tu montres que la partie réelle de z’/z est égale à zéro, c’est équivalent exactement à dire que z’/z est un imaginaire pur. Et ça c’est équivalent à argument de z’/z égal π/2 [π]. Donc au final, c’est exactement, puisque argument de z’/z c’est l’angle(u,v), à dire que u est orthogonal à v.

Donc y a que des équivalences ici, donc quand tu veux montrer que deux vecteurs sont orthogonaux grâce à leurs affixes, il te suffit de montrer que la partie réelle de z’/z est nulle. Autrement dit que z’/z est un imaginaire pur.

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