Comment trouver l’ensemble des nombres complexes z vérifiant |z-zA| = r ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment trouver l’ensemble des points M associés aux nombres complexes d’affixe a vérifiant |z-zA| = r.

Donc ce qu’on cherche ici c’est l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant |z-zA|=r. Avec r appartient aux réels, et zA c’est évidemment l’affixe d’un point A. Ah oui, et z c’est l’affixe de ces fameux points M.

Comprendre l’égalité d’un point de vue géométrique.

Donc là en fait, on a z qui est une inconnue. C’est-à-dire que c’est l’affixe d’un point M quelconque pour le moment, mais on nous dit que cet affixe là vérifie cette équation là.

zA lui est fixé et r il est fixé aussi. Donc si je prends un repère et je dis ça c’est mon point A, et j’ai r, eh bien on verra bien ce que c’est. L’idée c’est toujours la même dans le cas où tu dois trouver des ensembles de points, c’est de traduire l’équation en termes de géométrie.

Qu’est ce que c’est le module de z-zA ? C’est ça qui est important ici, |z-zA|, qu’est ce que c’est ? Alors |Z-Za| c’est le module du vecteur AM, qu’est ce que c’est ? Et module de l’affixe du vecteur AM c’est la norme du vecteur AM.

Explications : z-zA c’est l’affixe du vecteur AM. Donc quand on prend le module c’est la norme du vecteur AM. Et la norme du vecteur AM c’est rien d’autre que la longueur AM. Or, A il est fixé ici, etM c’est les points qu’on cherche.

On est donc en train de dire : cette équation là, elle est exactement équivalente à dire AM = r. Donc A, il est fixé, r, il est fixé. Autrement dit, on est en train de chercher les points M tel que la distance AM soit égale à r.

L’ensemble des nombres complexes vérifiant |z-zA| = r.

Soit, tous les points M qui sont à une distance r du point A. Ça c’est pas bien compliqué, ça veut dire que la distance entre le point M et A c’est r. Eh bien les seuls points qui vérifient ça, c’est tous les points qui vont appartenir au cercle de centre A et de rayon r !

Ici, on a un rayon, et le rayon il vaut r. Si on prend un point M sur ce cercle, eh bien la distance AM vaut bien r. Même chose ici, si on a un autre point M ici. Tous les points M qui vont vérifier AM=r forment le cercle de centre A et de rayon r.

Donc dès que tu vas avoir une équation comme ça et que tu veux trouver l’ensemble des points M d’affixe Z qui vérifie ton équation, l’idée c’est de traduire ça en géométrie.

Ici, on a un module, donc un module ça se renvoie toujours à une longueur. Il faut regarder la longueur de quoi ici ? z-zA c’est l’affixe du vecteur AM, donc ce module là c’est la longueur AM. D’où AM=r, qui est l’équation qui va te définir le cercle de centre A et de rayon r.

L’ensemble des points M, qu’en général on va appeler E, c’est le cercle de centre A et de rayon petit r. Toujours la même idée et je vais te donner d’autres exemples dans les prochaines vidéos.

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