Comment trouver l’ensemble des nombres complexes z vérifiant arg(z-zA) = π/3 ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment trouver l’ensemble des nombres complexes d’affixe z vérifiant l’équation arg(z-zA) = π/3.

Traduire l’argument d’un nombre complexe en géométrie…

Alors ce qui nous intéresse c’est l’ensemble des  points M d’affixe complexe z vérifiant arg(z-zA) = π/3 [2π]. On va faire simple, tu vois qu’ici évidemment, je mets zA pour l’affixe d’un point A.

Et π/3 ça pourrait être n’importe quel angle ici, j’ai juste pris un exemple. Ce qui nous intéresse en fait c’est quelque chose de la forme argument de z moins une autre affixe est égal à un certain angle.

Alors jusqu’ici, on a vu des formules avec des modules et ici, on va avoir de l’argument. Alors l’argument tu le sais c’est un angle. Donc il va falloir juste comprendre quel angle ça représente dans notre cas ?

L’argument du « vecteur AM » ?

Alors z-zA, on l’a déjà dit plusieurs fois, ça c’est l’affixe du vecteur AM ! Puisque z c’est l’affixe de M, zA c’est l’affixe de A. Donc ici on entrain de regarder l’argument du vecteur AM, entre guillemets, puisque ici un argument c’est un argument d’un nombre complexe.

Alors qu’est ce que ça veut dire graphiquement ? Car c’est ce qui nous importe ici. On va donc prendre un exemple, prenons ce point A, et on regarde AM.

Alors je vais prendre un autre point au hasard, et on verra que de toute façon ce n’est pas un point qui nous intéresse 😉 ! Et ici on va prendre le vecteur qui est là. Alors, je vais l’appeler N volontairement parce que je veux pas que ce soit le même.

Donc ça c’est le point N et donc ici on a le vecteur AN. Donc qu’est-ce que c’est l’argument de l’affixe de AN ici ? C’est ce qui m’intéresse. Je prends un exemple pour essayer de comprendre ce qui est l’argument de ce vecteur.

La petite astuce… ^^

Eh bien dans une autre vidéo, je t’ai expliqué un truc : c’est qu’en fait comme c’est un vecteur on peut le déplacer. Et donc si je le déplace ici, j’obtiens quelque chose comme ça à peu près.

Là ce qu’il faut que tu vois c’est que ça : c’est toujours le vecteur AN, c’est juste que je l’ai déplacé à l’origine. Alors pourquoi je le déplace à l’origine ? Pour pouvoir regarder l’argument facilement !

L’argument, donc ça c’est le vecteur qui a pour affixe zN-zA et l’argument de zN-zA, eh bien c’est l’angle qui est ici. Donc quand t’as un vecteur ici et que son affixe est donnée sous la forme zN-zA, son argument, pour voir ce que ça représente en fait, c’est l’angle entre l’axe des abscisses et ce vecteur.

Alors on aurait pu le voir autrement. Tu vois que si je trace ici la droite parallèle à l’axe des abscisses qui passe par le point A, l’argument il est ici en fait. Donc ça c’est aussi argument de zN-zA.

Autrement dit c’est l’angle que fait le vecteur avec une droite horizontale qui passe par le point d’origine du vecteur. Donc je fais passer la droite parallèle à l’axe des abscisses par le point A… Zt l’argument de zN zA, eh bien c’est l’angle qui est formé entre cette droite grise ici et le vecteur AN.

Et donc, l’ensemble des nombres complexes vérifiant arg(z-zA) = π/3 ?

Donc maintenant, si j’efface tout ça et que je regarde ce qui nous intéresse, ok ? Ce qui nous intéresse ici c’est de regarder l’argument de Z-ZA, et de trouver les points M qui vont vérifier que cet argument là soit π/3.

Donc on fait la même chose, on va avoir un certain point A, ici je le mets au hasard évidemment, le point A. J’ai dit l’argument de z-zA qui est donc l’argument qui est liée au vecteur AM c’est l’angle entre la droite parallèle à l’axe des abscisses qui va passer par ce point de départ du vecteur, donc le point A, et le point M.

Ici, j’ai mis mon point A, j’ai mis ma droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point A. Et maintenant je vais chercher les points M tel que le vecteur AM forme un angle π/3 avec cette droite grise.

Donc π/3 c’est un angle qui ressemble à ça à peu près si je trace ma droite ici. Alors attention! Ici je vais dire que ça c’est π/3, donc l’angle entre cette droite grise et cette demi droite rouge c’est π/3.

Autrement dit, si je prends un point M ici sur cette droite, j’ai bien le vecteur AM qui est ici, et l’argument de z-zA c’est l’angle qui est entre cette droite grise et le vecteur AM. Donc c’est bien π/3.

Le cas du point A…

Alors le point A, il n’est pas inclus. Pourquoi il n’est pas inclus ? Parce que pour le point A, eh bien le vecteur AM c’est le point A, c’est directement un point, c’est le vecteur nul ! Donc il n’y a pas d’angle qui aie un sens.

Donc ici, l’ensemble des points M associés aux nombres complexes d’affixe Z vérifiant arg(z-zA) = π/3 [2π], c’est la demie droite rouge que j’ai dessinée ici.

Cette demie droite, elle est privée de A, elle forme un angle π/3 avec l’axe des abscisses. Et donc en particulier avec la droite parallèle à l’axe des abscisses que j’ai fait passer par le point A, et c’est cette demie droite rouge.

Et le cas du modulo π ?

Si on avait modulo [π] ici, eh bien on aurait rajouté l’autre partie, et l’autre partie en fait c’est celle ici, si je trace bien ma droite voilà. Donc si on avait regardé l’ensemble des points M vérifiant la même équation mais [π], eh bien on aurait eu toute la droite privé de A.

C’est à dire la droite passant par A qui fait un angle π/3 avec l’axe des abscisses et qu’on aurait privé de A pour avoir l’ensemble des points qui nous intéressaient.

Peu importe les chiffres ou le nom des points que j’ai mis ici, ce qu’il faut retenir c’est que l’argument de z moins une autre affixe ça correspond à l’angle que va former le vecteur (ici par exemple AM) avec l’axe des abscisses.

Et donc si ça vaut π/3, on reprend π/3 ici et la droite elle est donnée comme ceci. Donc voilà comment tu peux trouver l’ensemble des points M associés aux nombres complexes d’affixe Z vérifiant arg(z-zA) = π/3 [2π]. 

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