Pourquoi l’exponentielle est strictement positive et comment s’en rappeler ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais t’expliquer pourquoi l’exponentielle x est toujours positive et comment t’en rappeler. Donc il y a une chose qui est importante avec l’exponentielle, c’est qu’elle est toujours strictement positive !

Et ça c’est quelque chose qu’il faut absolument avoir un tête parce que ça va te servir dans plein d’autres cas. C’est à dire que si tu as une équation e^x égal à quelque chose de négatif, tu sais qu’il ya pas de solution par exemple.

Et puis si tu as besoin d’étudier le signe d’une fonction ou d’une dérivée par exemple… Et qu’il y a de l’exponentielle x à l’intérieur, tu sais que ce terme là il sera toujours strictement positif.

La raison qui explique pourquoi l’exponentielle est toujours positive ?

Alors elle a raison, elle est très simple c’est encore une fois le fait que e, il appartient au réels… Mais en fait e, il est fixé à une constante qui vaut environ 2,718 !

Et ce chiffre là il est bien strictement positif, on est d’accord sur ça ? C’est pas très compliqué. Et donc maintenant, e^x c’est quoi ?

C’est rien d’autre qu’environ 2,718^x et 2.718 c’est un chiffre positif. Or un chiffre positif qu’on met à l’exposant, qu’il soit positif ou négatif cet exposant, et bien c’est toujours strictement positif !

Tu vois bien que si tu prends 10 exposant quelque chose, quelque soit cette exposant, ça sera toujours strictement positif.

Alors, attention parce que l’erreur courante c’est de dire bah 10^-2 c’est négatif. Non c’est pas négatif, 10^-2 !  C’est 1/ 10^2 et donc si 10^2 il est positif, 1/10^2, il est aussi positif.

C’est la même chose ici, exponentielle, c’est exactement pareil avec l’exponentielle. Si e^ -1001 par exemple, ça aussi c’est positif parce que ça c’est rien d’autre que 1/e^1001. Puisque c’est les mêmes propriétés que pour les exposants.

e^1001 bah on sait que ça c’est strictement positif puisque exponentielle est strictement positif, donc 1 divisé par quelque chose de positif, c’est bien strictement positif.

Comment tu t’en rappelles ?

Tu te rappelles encore une fois simplement que e c’est un nombre positif. Et c’est la seule chose que tu as à te rappeler ! Puisque ensuite c’est les propriétés des exposants que tu as vu au collège.

De manière générale pour l’exponentielle c’est là à peu près la seule chose à te rappeler :  Si tu connais tes propriétés d’exposants et que tu te rappelles que e c’est rien d’autre qu’un chiffre, tu sauras te retrouver toutes les propriétés de l’exponentielle.

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