A quoi ressemble la courbe d’un polynôme de degré 2 avec a supérieur à 0 ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir à quoi ressemble la courbe d’un polynôme de degré 2 quand le coefficient devant x^2 est positif, c’est à dire quand a est supérieur à 0.

On a quelque chose de la forme ax^2 + bx + c. Et la question est : à quoi ressemble la courbe d’une fonction qui est comme celle ci dans le cas où a est positif ? Parce que c’est ça qui est important ici : a est positif.

Tracer la courbe d’un polynôme de degré 2 avec a supérieur à 0.

Graphiquement il va ressembler à ça. C’est à dire que ça va être une parabole. Et cette parabole là et bien tu peux la faire bouger. Alors suivant les valeurs de a,b,c, on va bouger n’importe comment et partout.

Elle peut se rapprocher ou ne pas se rapprocher. Donc ici je l’ai faite volontairement pas centrée, tu vois qu’ici on est ici et que le centre de la parabole est par ici.

Il n’y a pas du tout nécessité que ce soit centré ici, ça va juste dépendre des valeurs de a, b et c. Donc ce que tu vois ici par contre c’est que on a deux fois la courbe de cette fonction va couper l’axe des abscisses.

Autrement dit on va avoir deux solutions à l’équation ici ax^2 + bx + c = 0. Tu vois qu’il y a un lien entre quand tu fais ton discriminant ∆ ici b^2 – 4 ac.

Cas ∆>0, ∆=0 et ∆<0.

Si b^2 – 4ac est positif, eh bien ça ça veut dire quoi ? Ça veut dire que la parabole coupe l’axe des abscisses deux fois. Maintenant si b^2 – 4ac = 0, dans ce cas là on va couper qu’une seule fois. Et si b^2 – 4ac est négatif, on ne va pas couper !

Donc ça nous donne 3 cas, et on va le mettre en vert par exemple. Dans ce cas là on a dit b^- 4ac est négatif. Donc on ne coupe pas l’axe des abscisses puisqu’on n’a pas de racine au polynôme.

Et vu que a est positif, et bien on n’a pas d’autre choix, c’est une parabole qui va être comme ceci. C’est à dire qu’elle est tout le temps strictement positive, elle va pas venir couper l’axe des abscisses.

Et maintenant si on prend b^2 – ac = 0, c’est une parabole qui va venir toucher en un point et repartir. Donc ici on va avoir un seul point de contact avec l’axe des abscisses qui est donc la racine du polynôme.

D’accord ? Donc on a les trois cas ici et a est strictement positif, ça oblige à regarder vers le haut.

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