Dans cette vidéo on va voir quand tu dois appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ou TVI.
Donc on est toujours entrain de regarder le TVI, comme dans les deux vidéos précédentes, que je t’invite à regarder si tu les as pas vu encore. Et on veut comprendre quand on doit l’utiliser.
Rappel sur le Théorème des Valeurs Intermédiaires.
Pour commencer, on rappelle ce que te dis le TVI. Le TVI te dit que si f est continue et stricte monotone sur un intervalle [a,b]. Et que c appartient à [f(a), f(b)]. Alors l’équation f(x)=c admet une unique solution.
Quand est-ce que tu vas appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ?
Déjà c’est quand tu es en pleine étude de fonction, c’est la première chose. Quand tu sais que cette fonction elle est continue. Et typiquement tu as étudié les variations, donc tu les connais. C’est plus pratique.
Autrement dit, tu sais l’endroit où elle est strictement croissante, et où elle est strictement décroissante. Tu sais que c’est une fonction continue et là d’un coup on va te demander : montrez que…
Cas classique.
Alors soit directement on te dit : montrer que l’équation f(x)=c admet une unique solution. Il aura toujours le mot « unique » (quasiment toujours). L’équation avec une fonction et le mot « unique » tu peux être sûr que c’est le TVI, il y a peu de chances que ce soit autre chose.
Cas dérivés.
On peut te le dire autrement, tu vois que ça ça veut dire plein de choses. Je te l’ai dit dans les vidéos précédentes. Ça veut aussi dire : montrer que les courbes C(f) et y=c admettent un unique, encore une fois, point d’intersection.
Quand je dis résoudre f(x)=c ou regarder le point d’intersection entre Cf et y=c, c’est la même chose, d’accord ? Donc ici il y a toujours le mot unique qui va apparaître.
Après, soit on te l’explique sous la forme d’une équation, c’est-à-dire f(x)=c, soit on te le dit sous la forme graphique. C’est à dire Cf et y=c admettent un unique point d’intersection.
La valeur de ‘c’.
Alors tu vois que le c, on te donnera toujours une valeur. Ça peut être 2 mais ça peut être aussi 0. Souvent c’est 0 ! C’est à dire que montrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution.
Ou bien, on peut te dire « montrer que la fonction f s’annule une et une seule fois sur l’intervalle [a, b] ». C’est exactement la même chose que de dire l’équation f(x)=0 admet une unique solution. Ou bien encore, la courbe Cf coupe l’axe des abscisses une seule fois.
Tu vois que c’est toujours le lien entre toutes ces choses là mais, globalement ce que tu dois faire, en gros, c’est :
- Tu es dans un exercice où tu connais une fonction,
- qu’elle est continue,
- que tu connais ces variations,
- et en gros on va te demander de regarder sur un certain intervalle à quel endroit elle s’annule ou à quel endroit elle vaut telle valeur.
Et sur un intervalle où les variations changent ?
Alors parfois on va te demander sur l’intervalle complet, par exemple sur [a, b]. Et puis en fait tu sais qu’elle est croissante entre a et c et puis après décroissante entre c et b par exemple.
Dans ce cas là, il faut que tu regardes les valeurs de la fonction et tu regardes sur un intervalle, t’auras pas la condition c appartient à [f(a),f(b)] par exemple. Mais tu auras c appartient à [f(c),f(b)]. Et donc tu vas n’utiliser le TVI que sur une partie où elle est strictement croissante.
Donc voilà globalement quand est-ce que tu vas devoir appliquer l Théorème des Valeurs Intermédiaires. Normalement c’est toujours assez évident et on voit toujours te demander « unique solution », « unique intersection », « unique fois où on coupe l’axe des abscisses » etc.
Et donc ça devrait faire « tilt » dans ton cerveau et tu pourras utiliser ce qu’on a vu dans les deux vidéos précédentes. C’est à dire retrouver les hypothèses que tu as besoin pour utiliser le TVI puis l’utiliser pour conclure ton exercice.
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