Comment comprendre graphiquement le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment comprendre graphiquement le théorème des valeurs intermédiaires.

Alors ce théorème là on le voit tout le temps en Terminale : le Théorème des Valeurs Intermédiaires. Et on l’appelle tout le temps le TVI. Donc il faut bien le comprendre pour ensuite pouvoir l’utiliser.

Que nous dit le Théorème des Valeurs Intermédiaires ?

Alors qu’est ce qui nous dit déjà ? Il nous impose quelques hypothèses. La première hypothèse c’est que f est continue et monotone, strictement monotone sur l’intervalle qui nous intéresse, par exemple [a, b].

Ensuite il nous dit que si ‘c’ appartient à [f(a), f(b)] alors l’équation f(x) = c admet une unique solution. Voilà ce qu’il nous dit !

Le mot « unique » est très important et ce qui nous intéresse. C’est qu’il n’y a qu’une seule solution à l’équation f(x) = c.

Autrement dit, le TVI nous dit : pour une fonction continue strictement monotone sur un certain intervalle, alors l’équation f(x) = c où c est une valeur comprise entre f(a) et f(b), admet une unique solution.

Comment comprendre graphiquement le Théorème des Valeurs Intermédiaires ?

Alors qu’est-ce tout ça graphiquement ? Parce que si tu le comprends graphiquement, tu pourras facilement l’utiliser. Et aussi retrouver ces hypothèses, comme on le verra dans la prochaine vidéo.

Condition 1 du TVI : Stricte Monotonie.

Donc on va prendre une fonction, disons qu’elle est comme ça. Et on va s’intéresser à un intervalle sur lequel elle est strictement monotone. Strictement monotone, donc soit strictement croissante, soit strictement décroissante.

Alors ici je prends d’intervalle sur lequel elle est strictement décroissante, par exemple celui-ci. Tu vois que la fonction elle est décroissante stricte et elle ne recroit pas donc elle est bien strictement monotone. Donc sur cet intervalle là, qu’on va appeler [a, b] ce sera plus simple, ça correspond à ce que j’ai écrit.

Condition 2 du TVI : Continuité.

La fonction elle est continue, tu vois qu’ici on la dessine sans lever le stylo. C’est ça que ça veut dire « continue ». On est d’accord il n’y a pas de saut au niveau de la fonction.

Condition 3 du TVI : ‘c’ est dans l’intervalle image.

Maintenant la troisième condition c’est que c, donc un certain réel, soit compris entre f(a) et f(b). Alors déjà, on va regarder ce que sont f(a) et f(b). On a ‘a’ qui est ici et f(a), il est là. Donc f(a) il est en haut. Et f(b) il est ici.

D’accord donc on à f(a) et f(b). Attention, la fonction étant strictement croissante ou décroissante, nécessairement les deux bornes sont les extrémités de l’intervalle image, oui ?

L’intervalle [a, b] a pour image c’est [f(a), f(b)] ou [f(b), f(a)] selon l’ordre dans lequel tu le donnes. Si la fonction décroissante, elle doit être plus grand que f(b). Si la fonction est croissante, elle doit est plus petite que f(b).

Ce qui est important ici c’est qu’en fait la fonction tu vois qu’elle est strictement décroissante. Et puisqu’elle est strictement décroissante elle va passer par toutes les valeurs une fois et une seule fois. Toutes les valeurs qui sont comprises entre f(a) et f(b).

Ce que ça donne sur un exemple.

Par exemple si je prends c ici, tu vois que la fonction f qui est ici, elle va passer une seule fois à un seul endroit. Elle va avoir f(x) = c. Ce point là c’est x ici et ça c’est f(x) =c. C’est la solution de f(x) = c.

Et c’est vrai pour absolument toutes les valeurs de [f(a), f(b)]. Tu vois, si je prends un petit d qui est ici, là il n’y a qu’une seule valeur, qu’une seule abscisse pour laquelle la fonction passe en f(d), i.e. f(x) = d.

Même chose ici, même chose partout. Donc graphiquement qu’est ce qu’on est en train de dire ? On est en train de dire qu’on a une fonction qui va de f(a) à f(b), en étant strictement monotone, donc strictement croissante ou décroissante. Et que par conséquent, elle va passer par absolument (puisqu’elle est continue) toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b).

Et elle va y passer qu’une seule fois !

Elle est continue, ça veut dire que nécessairement elle passe par toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). Et elle est strictement monotone donc elle ne va passer par ces valeurs qu’une seule fois.

C’est exactement ça que te dit le Théorème des Valeurs Intermédiaires. En fait, il te dit que cette fonction, qui est bien particulière, qui est continue strictement monotone, elle va passer par toutes les valeurs comprises entre eux et f(a) et f(b) une seule fois.

Autrement dit l’équation f(x) = c, avec ‘c’ entre f(a) et f(b) admet une unique solution. Donc voilà comment tu peux comprendre graphiquement ce que te dit le théorème des valeurs intermédiaires.

Il faut bien que tu comprennes ça, parce que c’est ce qui te permet, quand tu sais que tu dois l’utiliser dans un exercice mais que tu te rappelles plus des hypothèses pour l’utiliser, c’est ce qui va te permettre de retrouver les hypothèses, comme on va le voir dans la prochaine vidéo.

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