Comment retenir les hypothèses du Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment retenir les hypothèses du Théorème des Valeurs Intermédiaires ou TVI.

Donc le théorème des valeurs intermédiaires, il faut connaître ce que j’ai dit dans la vidéo précédente, donc je te laisse aller la voir si jamais tu ne te rappelles pas.

TVI : quelles sont les hypothèses ?

La question de cette vidéo c’est de comprendre comment retenir les hypothèses du Théorème des Valeurs Intermédiaires ou TVI . Dans la prochaine vidéo, on verra quand est-ce que tu dois l’utiliser.

Mais ça ne suffit pas de savoir quand est-ce que tu dois l’utiliser… Tu dois savoir aussi quelles sont les hypothèses pour l’utiliser ! Un théorème, si tu ne vérifies pas les hypothèses, tu ne peux pas l’utiliser.

Donc ce que tu veux ici c’est retrouver les hypothèses. Alors pour faire ça il faut te rappeler ce que fait le théorème, ce que te dit le théorème des valeurs intermédiaires graphiquement.

Qu’est-ce qu’il te dit, si je redessine ça rapidement. On va prendre une certaine fonction… Il te dit que l’équation f(x)=c, par exemple, admet une unique solution. Donc f(x)=c, c’est l’endroit où la fonction vaut c. Ou encore, l’image d’un certain point par la fonction vaut c.

Tu vois qu’ici c’est ce point-là mais ça pourrait être aussi celui là. Justement c’est ça qui est intéressant. c est le point d’intersection entre la droite y=c, que t’as ici, et la courbe c(f) qui est la courbe bleue ici.

Et ce théorème il te dit qu’il n’y a qu’une seule fois où ça coupe cette droite.

Pourquoi le TVI te dit qu’il y a unicité de la solution ?

Alors que dans mon exemple, t’en vois deux. C’est justement là que les hypothèses interviennent ! Pour que ça ne coupe qu’une seule fois, il faut que la fonction ne revienne pas sur elle-même.

Première hypothèse du TVI.

Donc première hypothèse, la fonction est monotone, strictement monotone.  Si f n’est pas strictement monotone alors elle peut revenir sur elle-même, comme tu le vois ici.

Si tu prends un intervalle assez grand l’équation f(x)=c admet plusieurs solutions. Donc il faut qu’elles soient strictement monotone. Elle ne peut pas revenir en arrière sur elle-même sinon tu auras plusieurs solutions.

Donc on va prendre un intervalle sur lequel elle est strictement monotone. Par exemple on peut prendre cet intervalle-ci. Voilà on est sur l’intervalle [a,b]. Donc la fonction est strictement monotone sur [a,b].

Deuxième hypothèse du Théorème des Valeurs Intermédiaires.

Maintenant pour que l’équation ait bien une solution il faut que ‘c’ soit compris entre f(a) et f(b). Notre deuxième condition est donc : c appartient à [f(a), f(b)].

S’il n’appartient pas à cet intervalle, la fonction est strictement monotone, elle prend les valeurs entre ces deux points. Donc si c n’appartient pas à [f(a), f(b)] eh bien il peut pas y avoir de solution à l’équation f(x)=c.

Tu vois si je mets un c plus haut, sur l’intervalle [a, b] on ne va pas croiser la fonction f. Autrement dit il n’y aura pas de solution.

Donc, première chose, strictement strictement monotone sur l’intervalle [a, b] que tu regardes. Deuxième chose, la valeur de c pour l’équation f(x)=c doit être comprise entre les deux bornes de l’intervalle image [f(a), f(b)].

Troisième hypothèse du TVI.

La troisième chose c’est qu’il ne faut pas que la fonction « saute ». Tu vois que si la fonction fait quelque chose comme ça, elle est bien décroissante mais d’un coup elle va décroître ici. Eh bien, tu pourras ne pas passer par c.

Donc la troisième condition c’est : f est continue sur [ab]. La continuité c’est ce qui te dit que f va passer par tous les points compris entre f(a) et f(b).

Tu peux pas « lever le stylo quand tu traces la fonction ». Donc ici tu es obligé de passer par toutes les valeurs comprises entre f(a), f(b). Et comme c∈ [f(a), f(b)], tu vas passer au moins une fois par la valeur c.

Maintenant f est strictement monotone donc tu vas passer une seule et unique fois. Ici tu récupères l’unicité de la solution. Ici tu récupères l’existence de la solution.

En fait, les deux points ici te permettent de dire qu’il y a bien existence d’une solution. Et la stricte monotonie t’implique l’unicité.

Conclusion : comment retenir les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires ou TVI ?

Voilà les trois hypothèses que tu dois retenir. Et donc si tu sais ce qu’on doit faire et graphiquement, c’est à dire que le TVI te dit qu’il y a une unique solution à l’équation f(x)=c. Autrement dit un unique point d’intersection entre ta droite d’équations y=c et ta courbe représentative c(f). Eh bien tu peux retrouver ces hypothèses comme je viens de le faire.

Un seul point donc il faut que ça soit strictement monotone, puisque sinon tu pourrais en avoir deux. Il faut que ‘c’ soit compris entre les deux bornes de ton intervalle image. Et puis il faut que f soit continue pour que tu passes bien par tous les points.

D’accord, donc les trois hypothèses sont là et tu les retrouves grâce à ce que tu sais du théorème des valeurs intermédiaires.

Voilà comment tu peux et comment tu dois retenir les trois hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires ou TVI.

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