Comment dire si f est convexe ou concave à partir de la courbe de sa dérivée seconde f » ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment dire si f convexe ou concave à partir de la courbe représentative de sa dérivée seconde.

Convexe ou Concave ? Décidons à partir de la courbe de la dérivée seconde !

Donc on va regarder la convexité de f à partir de Cf ». Autrement dit, la courbe représentative de la dérivée seconde.

Commençons par tracer, une courbe. Par exemple, on peut tracer comme ça, voilà. Donc ici ça c’est Cf » !

Comme on l’a vu dans la vidéo précédente, f » positive équivaut à f convexe et f » négative équivaut à f concave. Ce que tu dois avoir en tête c’est ce lien là ici, ce lien entre f » et f. De manière à pouvoir le traduire graphiquement.

Lien entre convexité et fonction dérivée seconde.

On a dit on a la courbe de f » et on veut en déduire la convexité de f. Donc pour ça, d’après les informations qu’on a, on peut déduire la convexité à partir du signe de f ».

Là, on va regarder cette courbe, on va regarder son signe. Ici elle vaut 0, ici elle vaut 0, ici elle vaut 0. Sur cette partie là, eh bien ici on est négatif, ici on est négatif.

Le signe de la courbe c’est le signe selon les y donc ici on est négatif, et au milieu on est positif et à droite on est positif. Alors qu’est ce que ça nous dit ?

Tout simplement que sur cette partie là f est concave puisque f » est négative, donc f concave. Sur la partie centrale ici, f » est positive, donc f est convexe. Ici f » est négative, donc f est concave sur cet intervalle ici. Et puis le dernier intervalle, f » est positive, donc f est convexe.

Autrement dit, quand tu veux regarder la convexité de la fonction graphiquement à partir de la courbe représentative de sa dérivée seconde (attention, sa dérivée seconde !) tu regardes le signe de la courbe et t’en déduis directement la convexité de la fonction.

Si f » est négative, f est concave, si f » est positive, f est convexe. Voilà comment tu peux trouver si f est convexe ou concave à partir de la courbe représentative de sa dérivée seconde. 

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