Qu’est-ce qu’un point d’inflexion pour la courbe représentative de f ?

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Comment dire si f convexe ou concave à partir de courbe de sa dérivée seconde f''
Quel est lien entre convexité f sens variation f' et signe de f''

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce qu’est un point d’inflexion pour la courbe représentative d’une fonction f.

Définition du point d’inflexion pour la courbe d’une fonction.

Un point d’inflexion sur la courbe représentative de la fonction f c’est un point où il y a changement de convexité. Alors qu’est ce que ça veut dire ça ?

La base.

Ça signifie que la courbe de la fonction f va passer de convexe à concave ou bien de concave à convexe. C’est le « changement de convexité », qu’est ce que ça veut dire aussi ?

Impact sur f ».

Ça veut aussi dire que f » s’annule et change de signe. En effet, on a dit si on change de convexité, on passe de convexe à concave par exemple. Autrement dit,  f » va passer de positive à négative. Ou si c’est de concave à convexe, f » va passer de négative à positive.

Mais dans tous les cas, il faut qu’il y ait changement de convexité. Donc il faut qu’il y ait changement de signe de la dérivée seconde. La dérivée seconde s’annule donc nécessairement puisqu’elle change de signe et elle change de signe.

Attention à ce cas particulier.

Si la dérivée seconde elle fait : positive, zéro, positive… Eh bien, il n’y a pas de point d’inflexion puisqu’en fait, tu vas rester convexe.

Impact sur f’.

Et maintenant, si on traduit ça pour f’. Si f » s’annule et change de signe, qu’est ce que ça veut dire ? Tout simplement que f’ change de sens de variation !

Donc typiquement, si on passe de convexe à concave, f’ va passer de croissante à décroissante. Autrement dit, si la courbe de la dérivée passe de croissante à décroissante, il y a un changement de convexité.

Là où il y a un changement de convexité, le point où ce changement se passe c’est un point d’inflexion de la courbe Cf.

Voilà, un point d’inflexion pour la courbe de f, c’est là où il y a un changement de convexité. Donc f » s’annule et change de signe ou bien f’ change de sens de variation.

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