Alors dans cette vidéo on va voir comment retrouver l’abscisse de l’extremum d’un trinôme du second degré, d’accord?
Rappel sur le trinôme du second degré.
Il faut faire attention ici donc on s’intéresse à un trinôme du second degré. Ce qui veut dire que sa représentation graphique c’est une parabole. Donc soit dans ce sens là, soit dans ce sens-là suivant la valeur de a. Ici, c’est a négatif, ça c’est a positif, mais on sait que c’est une parabole.
Abscisse de l’extremum d’un trinôme du second degré.
Et donc on voit que ici on a un maximum, ici on a un minimum. Donc cet extremum, il a toujours la même abscisse qui dépend de a, b et c. Et donc comment est-ce qu’on retrouve cette chose là ?
Eh bien on va utiliser la dérivée ! Parce que à cet endroit là, on voit que la tangente elle est horizontale. Autrement dit que la dérivée au niveau du maximum ou du minimum, elle vaut 0.
Donc en fait si ça c’est f(x), pour trouver cette abscisse on va mettre que la dérivée en ce point là vaut zéro. Autrement dit f'(x)=0. Alors f'(x) ici c’est très facile puisque x^2, quand on dérive ça fait 2x. Et quand on multiplie par a, ça fait 2ax.
Puis +bx quand on dérive, ça fait +b, et c c’est une constante, donc quand on dérive, ça fait 0. Donc la dérivée égal à zéro, c’est équivalent exactement à ça.
Résoudre l’équation f'(x) = 0.
Donc maintenant on fait un petit peu de résolution d’équations. 2ax = – b et donc ça, ça équivaut à x = -b/2a. Alors qu’est ce qu’on peut en déduire ?
Eh bien on en déduit que un trinôme du second degré atteint alors son minimum ou maximum en x= -b/2a, d’accord ? Ça c’est régulièrement utile quand tu vas te retrouver dans des exercices où tu as besoin de trouver le maximum ou le minimum d’un polynôme du degré 2.
Et donc pour faire ça, eh bien il faut que tu connaisses l’endroit où la valeur du polynôme est maximale ou minimale. Mais si jamais tu te rappelles pas de cette formule qui est -b/2a, mais que tu sais dériver parce que c’est pas très compliqué de dériver ici.
Eh bien tu te rappelles juste que le maximum ou le minimum il est atteint quand la dérivée vaut 0. Donc si tu dérives, tu obtiens 2ax+b, et tu mets ça égal à zéro. Et tu trouves directement que x = – b/2a.
Voilà comment retrouver l’abscisse de l’extremum d’un polynôme de degré 2.
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