Comment calculer l’argument d’une multiplication ou division de deux nombres complexes, arg(z*z’) ou arg(z/z’) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment calculer l’argument d’une multiplication ou une division de nombres complexes. Autrement dit, ce qui nous intéresse ici c’est arg(z*z’) et arg(z/z’), d’accord ? Avec évidemment z et z’ qui appartiennent au nombres complexes.

Les formules avant les explications !

Ici, les formules je te les donne tout de suite c’est : arg(z*z’) = arg(z) + arg(z’). Et arg(z/z’), tu l’auras deviné, ça va pas être un plus mais un moins cette fois, donc ici c’est bien égal à arg(z) – arg(z’).

Alors voilà les deux formules qu’il faut se rappeler ! Et encore une fois pour te rappeler de ces formules, on va utiliser la forme exponentielle des complexes.

La forme exponentielle… toujours !

Donc z ici c’est |z|*e^i arg(z). Et puis z’, eh bien c’est |z’|*e^i arg(z’). Et comme dans le cas des modules j’ai fait la multiplication, je vais faire la division ici. Eh bien ce qui nous intéresse c’est de regarder z/z’.

Donc z/z’, je remplace par les formes exponentielles, ce qui nous donne |z| e^i arg(z) divisé par |z’| e^i arg(z’). Donc ça, on va séparer les choses, d’un côté on va avoir |z|/|z’|.

Et ici donc propriété exponentielle complexe e^ia / e^ib c’est égal à e^i(a-b). Donc e^i[arg(z)-arg(z’)]. Et tu vois qu’on est déjà sous la forme exponentielle ! En fait, c’est un nombre complexe qui va s’écrire parfois e^iθ, d’accord ?

L’argument d’une multiplication (ou d’une division) de 2 nombres complexes :

Donc z/z’ c’est égal à |z/z’|e^iθ et θ c’est arg(z) – arg(z’). Donc quand on va prendre l’argument de z/z’, ça va directement être égal, par identification avec la forme exponentielle, à arg(z) – arg(z’).

Il te suffit donc de te rappeler des propriétés de l’exponentielle complexe et d’écrire tes deux complexes sous forme exponentielle. Puis tu regardes leur division, et tu t’aperçois grâce à la propriété de l’exponentielle que les arguments se soustraient dans le cas de la division !

Et dans lequel la multiplication, ils vont s’additionner. Donc ça, je t’invite à le faire en exercice. Voilà comment tu peux retrouver l’argument d’une multiplication ou d’une division de nombres complexes.

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