Comment calculer l’argument d’un nombre complexe à l’exposant n, arg(z^n) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment calculer l’argument de z^n, autrement dit l’argument d’un nombre complexe à l’exposant n.

Forme exponentielle et réponse !

Pas de suspense : ça va être égal directement à n arg(z). Et la technique pour faire ça c’est toujours la même, on va passer par la forme exponentielle !

La forme exponentielle d’un nombre complexe z, ça s’écrit toujours |z|*e^i arg(z). Donc ce qui nous intéresse ici c’est de regarder z^n, c’est quoi ?

C’est ( |z|*e^i arg(z) )^n. Autrement dit, la multiplication module de z fois l’exponentielle complexe, le tout à l’explosant n. Donc ça fait : le premier terme à l’exposant n et le deuxième aussi : |z|^n * (e^i arg(z))^n !

Propriétés du module et de l’exponentielle.

Alors là, on a deux propriétés ! La première propriété, celle du module qu’on a vu dans une vidéo précédente. C’est module de Z à l’exposant n c’est la même chose que module de z^n.

Puis propriété de l’exponentielle complexe, (e^ia)^b ça fait e^i(a*b). Donc ici on va avoir e^i n*arg(z).

Autrement dit, on a z^n qui est égal à |z^n| que multiplie e^i n*arg(z). Eh bien là, on reconnaît directement la forme exponentielle de z^n. Puisque la forme exponentielle de z^n, ça va être son module qu’on a ici que multiplie e^i fois ici son argument.

Comment calculer l’argument d’un nombre complexe à l’exposant n ? La réponse.

Donc z^n, ça c’est la définition de la forme complexe et e^iθ où θ égal à arg(z^n). Eh bien là, il y a juste à faire l’analogie, tu vois que z^n c’est cette chose-là et c’est cette chose-là.

Donc là, eh bien on peut en déduire directement que arg(a^n) qui le θ que j’ai mis ici, eh bien c’est l’argument qu’on a ici c’est à dire c’est n * arg(a).

Voilà comment on retrouve la formule pour l’argument d’un complexe à l’exposant n. Il suffit encore une fois, de passer par la forme exponentielle, et d’écrire les choses calmement !

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