Comment calculer le module d’une multiplication ou division de deux nombres complexes, |z*z’| ou |z/z’| ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment retrouver et calculer le module d’une multiplication ou d’une division de nombres complexes, d’accord ? Donc ce qui nous intéresse ici c’est |z*z’| et |z/z’|.

Le cadre et les formules !

On a deux nombres complexes bien sûr, z et z’ appartiennent aux complexes. Ce qu’on va voir c’est comment on retrouve les formules qui sont lié à ça.

Alors les formules, je les note tout de suite. En fait c’est tout simple c’est |z*z’| = |z|*|z’|. Autrement dit le module d’une multiplication est la multiplication des modules. Et |z/z’|= |z|/|z’|. Autrement dit le module d’une division est la division des modules.

Comment le retrouver ?

Ça c’est ce qu’il faut retenir, mais en fait si tu t’en rappelles pas sur le moment, il suffit de le vérifier ! Et pour le vérifier, comme souvent avec les complexes, il y a des choses qui sont beaucoup plus simple quand on passe à la forme exponentielle.

La forme exponentielle.

Comme tous les nombres complexes, z, il peut être écrit comme z = |z| e^iθ où θ c’est l’argument de z. Et pareil, z’ ça va être |z’| e^iθ ‘ où θ’ c’est l’argument de z’.

Calculer le module d’une multiplication (ou division) de 2 nombres complexes.

Donc si tu garde ça en tête et que tu regardes ce qui est z*z’, d’accord ? On part d’ici, on fait z*z’, Donc on va prendre le module, on regarde ce que vaut la multiplication des deux complexes.

z*z’, ça va être |z| e^iθ * |z’| e^iθ ‘. Alors ici, comme toujours, il n’y a que des multiplications, donc ça c’est |z|*|z’|, et donc là on a e^iθ * e^iθ ‘. Or ça, ça fait e^i(θ+θ’). Et ça c’est z*z’.

Donc quand on est là, on va passer au module. Quand on passe au module, on a |z*z’| qui est égal à module de tout ça,||z|*|z’| e^i(θ+θ ‘)|. Ici ça, ça appartient bien aux complexes. Mais ça ici c’est une multiplication de modules, donc ça appartient aux réels.

Donc là, il va nous falloir une petite formule qui nous dit que le module d’un réel fois un complexe… c’est ce réel fois le module du complexe.

Ce que je te dis ici c’est qu’en fait cette chose là ça va être égal à |z|*|z’|, parce que ça c’est un réel, multiplié par |e^i(θ+θ ‘)|, d’accord ? Et donc ça c’est |z*z’|.

Et ici en fait ce module là, module d’une exponentielle complexe est toujours égale à 1. Donc en fait, on a bien |z*z’| égal à |z|*|z’|. La seule chose que j’ai utilisé ici c’est qu’en fait quand on a k * z, et qu’on le prend en module, c’est égal à valeur absolue de k fois module de z.

Deux exos pour toi !

Attention ! k est un réel, z est un complexe ici. Donc pour te montrer ça, je te laisse le faire justement, à la limite c’est un bon exo !

Tu prends k réel et tu prends z de la forme x+y, et tu vas écrire le module de k * (x+y). Tu vas voir que tu peux sortir la valeur absolue de k de ta racine. Et donc tu vas te retrouver avec cette formule ici que j’ai utilisée à ce moment là pour passer d’ici à là.

C’est comme ça qu’on démontre que module de zz’ c’est égal à module de z fois module de z’. Donc je te laisse faire en exercice la même chose pour z/z’ !

Tu vas voir que c’est exactement pareil, il y a juste l’exponentielle ici qui va changer, et ici tu vas avoir |z/z’|. Voilà comment retrouver et calculer le module d’une multiplication ou d’une division de nombres complexes.

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