​Dans cette vidéo on va voir comment retrouver et calculer le module d'une division ou d'une multiplication de nombres complexes, d'accord. Donc ce qui nous intéresse ici c'esy |Z*Z'| et |Z/Z'|. Donc on a deux nombres complexes bien sûr Z et Z' appartiennent au
complexes. Donc ce qu'on va voir c'est comment on retrouve les formules qui
sont lié à ça.

Alors les formules, je les note tout de suite, en fait c'est tout simple c'est |Z*Z'| en c'est égal au |Z| * |Z'| et |Z/Z'|, naturellement c'est la même idée, eh bien c'est
|Z|/|Z'|, module de la division c'est la division des modules. Donc ça c'est ce qu'il faut retenir, mais en fait si tu t'en rappelles pas sur le moment, il suffit de le vérifier. Et
pour le vérifier, comme souvent avec les complexes, il y a des choses qui sont beaucoup plus simple quand on passe à la forme exponentielle.

Donc comme tous les nombres complexes, Z, il peut être écrit comme Z = |Z| e^iθ où θ c'est l'argument de Z. Et pareil, Z' ça va être |Z'| e^iθ ' où θ' c'est l'argument
de Z'. Donc si tu garde ça en tête et que tu regardes ce qui est Z *Z', d'accord ? On part d'ici, on fait Z * Z', Donc on va prendre le module, on regarde ce que vaut la multiplication des deux complexes. Z * Z', ça va être |Z| e^iθ * |Z'| e^iθ '. Alors ici, comme toujours, il n'y a que des multiplications, donc ça c'est |Z| |Z'|, et donc là on a e^iθ * e^iθ ', donc ça, ça fait e^i(θ +θ '). Donc ça c'est Z Z', d'accord, c'est
Z*Z'. Donc quand on est là, on va passer au module.

Donc quand on passe au module, on a |Z * Z'| qui est égal à module de tout ça,||Z| |Z'| e^i(θ+θ ')| Donc ici ça, ça appartient bien aux complexes, ça ici c'est des modules, c'est une multiplication de modules, donc ça appartient aux réels. Donc là, il va nous falloir une petite formule qui nous dit que le module d'un réel fois un complexe eh bien c'est ce réel fois le module du complexe. Et donc ce que je te dis ici c'est qu'en fait cette chose là ça va être égal à |Z| |Z'|, parce que ça c'est un réel, multiplié par |e^i(θ+θ ')|, d'accord ? Et donc ça c'est |Z*Z'|. Et ici en fait ce module là, module d'une exponentielle complexe est toujours égale à 1.

Donc en fait, on a bien |Z Z'| égal à |Z| * |Z'|. La seule chose que j'ai utilisé ici c'est qu'en fait quand on a k * Z, et qu'on le prend en module, c'est égal à valeur absolue de k fois module de Z. Attention! k est un réel, Z est un complexe ici. Donc pour
te montrer ça, je te laisse le faire justement, à la limite c'est un bon exo, tu prends k réel et tu prends Z de la forme x+y, donc tu vas écrire le module de k * (x+y), et tu vas voir que tu peux sortir la valeur absolue de k de ta racine, et donc tu vas te retrouver avec cette formule ici que j'ai utilisé à ce moment là pour passer d'ici à là.

C'est comme ça qu'on démontre que module de ZZ' c'est égal à module de Z fois module de Z'. Donc je te laisse faire un exercice. La même chose pour Z/Z', tu vas voir que c'est exactement pareil, il y a juste l'exponentielle ici qui va changer, et ici tu vas avoir |Z/Z'|. Donc voilà comment retrouver et calculer lemodule d'une multiplication ou d'une division de nombres complexes.

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