Comment calculer le module d’un nombre complexe à l’exposant n, |z^n| ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment retrouver et calculer le module d’un nombre complexe à l’exposant n.

La formule avant les explications.

Ce qui nous intéresse ici c’est de retrouver la formule : |z^n| = |z|^n.

Toujours grâce à la forme exponentielle…

Comme pour le module d’une division ou d’une multiplication de nombres complexes. En fait ce qu’on va faire c’est qu’on va écrire |z|e^iθ, θ étant argument de z évidemment ici, θ = arg(z).

Donc on va faire ça et on va regarder le module de z^n. Alors, avant de regarder le module, on va regarder z^n. Alors z^n c’est (|z| e^iθ)^n, d’accord ?

Ici c’est une multiplication, donc un exposant a * b à l’exposant n c’est a^n * b^n. Par conséquent, c’est égal à |z|^n * (e^iθ)^n. Et (e^iθ )^n, par la propriété de l’exponentielle complexe ici, ça fait e^inθ.

Au final on a donc z^n égal à |z|^n e^inθ. Rappelle-toi juste de la propriété de l’exponentielle complexe pour arriver là. Maintenant, il nous reste juste à passer au module.

Comment calculer le module d’un nombre complexe à l’exposant n ? La réponse.

Donc le module de z^n est égal à | |Z|^n e^inθ |. Donc mêmes propriétés que dans le cas de multiplication et de division, cette chose-là, ça appartient bien aux réels. Et cette chose là, ça appartient bien aux complexes.

On a un réel fois un complexe, le tout pris en module. Alors ici module de z c’est positif donc module de z exposant n, c’est positif. Donc c’est directement |Z|^n * |e^inθ|.

Et |e^inθ| encore une fois, ça c’est 1, le module d’une exponentielle complexe c’est 1. Il faut t’en rappeler absolument ! Qu’est ce qu’on a montré ? On a montré que le module de z^n est égal à module de z à l’exposant n.

Résumé

Encore une fois, pour montrer que le module de z^n c’est le module de z à l’exposant n, eh bien on utilise la notation exponentielle. On écrit le nombre complexe sous sa forme exponentielle, on regarde ce qui est l’exposant n,.

Ensuite on prend le module et on utilise toujours la même propriété ici qui nous dit que |k z| c’est |k|*|z|, avec z complexe et k réel. Et donc on démontre ça.

Voilà, tu vas pouvoir l’utiliser dans tes calculs pour simplifier les choses quand t’aura z^n ! Tu pourra calculer son module facilement puisque ça sera module de z à l’exposant n.

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