Comment retrouver et calculer la dérivée du logarithme népérien de u(x) ou ln(u(x)) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver la dérivée de logarithme népérien de u, soit ln(u(x)).

Déjà, je te donne la réponse : quand on dérive (ln(u(x)), ça nous donne u'(x)/u(x) ! Et ça, c’est une dérivée qui revient très souvent et en particulier pour le calcul de primitives que tu verras un peu plus tard.

Comment est ce qu’on retrouve cette dérivée ? Eh bien on va se rappeler de la dérivée d’une fonction composée encore une fois !

Donc f(g(x)) on a dit, quand on dérive tout ça, qu’est ce qu’on obtient ? On obtient f'(g(x))*g'(x). Ou, encore une fois ici la seule difficulté c’est de trouver quelle est la fonction f, quelle est la fonction g.

Mais si tu vois qu’on à ln(u(x)), et pas ln(x). Ça veut bien dire que la fonction f(x) = ln(x), et la fonction g c’est donc u(x) ici.

Or, on sait la dériver puisque la dérivée de g ça doit donc être u'(x), et la dérivée de f, la dérivée de ln(x) = 1/x.

Maintenant il ne reste plus qu’à appliquer la formule. On a (ln(u(x)))’, on a dit c’est d’abord la dérivée de ln, donc 1/x, prit en u(x). Donc 1/u(x) que multiplie la dérivée de ce qui est à l’intérieur ici, u'(x).

Et donc là on a directement obtenu u'(x)/u(x) ! Même chose donc, pas besoin d’apprendre la formule par coeur, si tu connais la dérivée de ln, eh bien tu connais la dérivée de logarithme de u(x) !

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