Comment retrouver et calculer la dérivée de tangente ou tan(x) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver et calculer la dérivée de tangente x. Alors tu vas voir que la dérivée de tangente x, on peut l’écrire de plusieurs façons : (tan(x))’ = 1 + tan^2(x) soit 1/cos^2(x).

Donc quelle que soit la forme que tu veux obtenir à la fin, la façon de le retrouver c’est la même. Et c’est d’utiliser ce que tu sais ! Alors qu’est ce que tu sais ?

Retrouver la dérivée de tangente x… en passant par sin/cos.

Tu sais que tan(x) = sin(x) / cos(x). Donc si tu sais ça, tu vois qu’en fait c’est une fonction divisée par une autre fonction. Autrement dit, un quotient de fonctions. Et ça tu sais le dériver, c’est u/v !

Donc on va poser, donc là, on va dire ça c’est u(x) / v(x). Donc comment on fait ça ? Eh bien on utilise u(x) = sin(x), ça ça nous dit que u'(x)…, donc je te rappelle, on fait un petit cercle trigo, on part de sinus on va 1/4 de tour à droite donc on obtient cos(x).

Et puis v(x) = cos(x), ce qui implique que v'(x) = -sin(x). Donc si tu n’est pas à l’aise avec ces dérivées, regarde les vidéos précédentes et tu pourras retrouver ça très facilement.

Et maintenant on applique la formule de (u/v)’. Ça, c’est (u’v – uv’) / v^2. Donc là, on remplace u’, on a dit c’est cos(x), v c’est cos(x). Et ça, ça nous fait du cos^2(x) moins…, et ici u c’est sin(x) * -sin(x). D’où, -sin(x) * -sin(x), ça fait bien +sin^2(x). Le tout divisé par cos^2(x) puisqu’on a v^2(x).

Et hop, on arrive à 1/cos^2(x)…

La première chose à voir c’est que cette chose là, on sait ce que c’est, on sait que cos^2 plus sin^2 ça vaut 1. Donc là une première chose c’est bien, c’est de dire que c’est 1/cos^2(x). Et donc là on a retrouvé la première formule qui est ici.

…re-hop, on arrive à 1 + tan^2(x) ! 

La deuxième façon c’est de séparer cette division ici et de dire eh bien ça c’est (cos^2(x) / cos^2(x)) + (sin^2(x) / cos^2(x)). Donc cos^2(x) / cos^2(x) ça fait bien 1. Il va nous rester sin^2(x) / cos^2(x) et je fais sauter les x pour que ça soit plus simple.

Ça on peut aussi l’écrire : 1 + (sin(x) / cos(x))^2, et donc ça c’est bien 1+ tan^2(x). Et donc ça c’est la deuxième forme.

Mais peu importe tu vois comment on l’a retrouvé : on a utilisé le fait que tangente c’est sinus / cosinus. Tu sais ça, tu utilises u/v, la formule pour la dérivée de u/v, tu poses bien ton u, ton u’, ton v et ton v’. Puis tu écris ta formule, tu remplaces ton u’, ton v’, ton u et ton v, parce que ça vaut. Et au final, tu retrouves directement 1/cos^2 ou bien 1+ tan^2.

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