Qu’est ce que le nombre dérivé d’une fonction en un point ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo on va voir ce qu’est le nombre dérivé d’une fonction en un point, d’accord ? Ce qui nous intéresse c’est de comprendre ce qu’est le nombre dérivé, et c’est toujours le nombre dérivé d’une fonction en un point.

Le cadre.

On va prendre le point, on va l’appeler a, ce sera plus simple, mon point a, d’accord ? Et puis la fonction on va l’appeler f parce que ce sera toujours plus simple. Donc qu’est ce que c’est que le nombre dérivé d’une fonction en un point a ?

Définition théorique du nombre dérivé de la fonction f au point a.

La définition théorique c’est la limite du taux de variation de f en a. Alors le taux de variation c’est (f(a+h) -f(a))/h.

La limite, ça tu le verras plus tard, c’est pas très important, ça va être quand h tend vers zéro. C’est à dire qu’on regarde le taux de variation, et on fait tendre h vers zéro. Je vais te montrer ce que ça fait graphiquement.

Cette chose-là, eh bien c’est le nombre dérivé de f en a. Et ça va se noter f’ pour dire que c’est la dérivé de f pris en a.

Comprendre par le graphique.

Alors graphiquement qu’est ce qui se passe ? Parce que c’est ça qui est important c’est que tu comprennes graphiquement ce qu’on est en train de regarder.

Donc ici on va prendre une fonction quelconque, par exemple comme ça. Et on va regarder ce que c’est que ce taux de variation. Alors qu’est ce que c’est ce taux de variation si on prend un point a ici ?

Taux de variation.

Donc ici on a x=a, on prend ce point et on veut regarder (f(a+h) -f(a)). Alors a+h, h c’est un paramètre qu’on prend. Et donc on va regarder ici par exemple si on prend, on commence ici, on commence là.

On prend h négatif par exemple, on va dire ici. f(a+h), il est là. Donc ça c’est f(a+h), je fais exprès, ça te perturbe un peu peut-être le h négatif, mais on s’en moque en fait.

Donc ça c’est a+h, un premier h, h0 par exemple, (f(a+h) -f(a)) sur l’écart entre les deux. L’écart ici c’est bien h0. En fait, on est en train de regarder la pente qui a entre ces deux points.

On va prendre un deuxième point un peu plus près ici, ça ça va être f(a+h1). Et puis, on va regarder là aussi la pente qu’il y a entre ces deux points, etc, etc.

Limite quand h tend vers 0

On va faire tendre cette valeur h ici, donc ici j’avais h0 qui était le grand, h1 qui est ici, et puis on peut faire réduire autant qu’on veut. Et quand on va faire ça, c’est ce qu’on fait ici en disant limite de h tend vers zéro.

Ici, ça devient de plus en plus petit et en fait ce qu’on va obtenir, c’est que ce nombre dérivé il va représenter ici la pente de la tangente au point a. Donc ici le nombre dérivé c’est la pente de la tangente à la fonction f au point a.

Alors si je retrace par exemple les autres droites que j’avais mises ici. Donc là on avait celle ci qui était par ici, on avait celle ci qui était un peu plus penché, et puis tu vois qu’au fur et à mesure, la droite elle va se redresser jusqu’à temps d’arriver quand h devient tout petit.

En fait le nombre dérivé de la fonction f au point a, c’est la pente de la tangente en f en a.

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