Comment retrouver et calculer la dérivée d’une multiplication de fonctions ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, je vais te montrer comment retrouver et calculer la dérivée d’une multiplication de fonctions.

Ici ce qui nous intéresse c’est de regarder f(x) * g(x), et de regarder la dérivée de cette fonction là. Eh bien la dérivée est elle donnée par « on dérive l’un, on dérive pas l’autre » + « on dérive l’autre et on ne dérive pas l’un ».

Autrement dit f'(x), on commence par dériver la première, on va multiplier par g(x)… Plus f(x) cette fois ci, donc c’est lui qu’on ne dérive pas et on va dériver l’autre, g'(x).

La formule de la dérivée d’une multiplication de fonctions u*v.

Ça c’est une formule qu’on verra régulièrement sous une autre forme avec uv. Mais en fait c’est exactement la même chose, puisque j’aurais pu dire fg au lieu de f(x)*g(x) ici.

Conc c’est (uv)’ qui est égal à quoi, qui est égal à u’v + uv’. Donc on voit bien qu’il y a une somme entre les deux, et ensuite on a dérivé un et gardé l’autre intacte, on a dérivé un et gardé l’autre intacte.

À chaque fois on inverse évidemment. Et ici le sens n’a pas d’importance puisque on est sur une somme. Donc ça c’est une formule assez facile à te rappeler puisqu’en fait il y a juste à te rappeler la somme… Et puis ensuite on dérive l’un et pas l’autre.

L’appliquer sur un exemple !

Si on l’applique maintenant par exemple on va prendre quelque chose de pas complètement simple on va prendre f(x) = x^2. Et on va multiplier ça par, par exemple, racine de x. Donc là comment est ce qu’on fait ça pour calculer la dérivée de ça ?

Eh bien le plus simple ça reste d’écrire qu’est ce qui est f ou u comme tu veux. On va l’appeler u c’est plus classique : u(x) = x^2 et puis v(x) = √ x, d’accord ?

Donc on a cette formule en tête maintenant on pose u et v, qu’est-ce qu’on a besoin ? On a besoin de u’ et v’, donc une u'(x), la dérivée de x^2 c’est 2x. Et la dérive de √x, c’est la suite au renvoie aux vidéos précédentes c’est 1/2√x.

Une fois qu’on a ça tu vois qu’ici on a u, u’, v, v’. Donc on a tout ce qu’il faut pour calculer la dérivée ! Il n’y a plus qu’à l’écrire donc on a dit on prend en premier une fonction et la dérivée de l’autre.

Donc ici on va avoir par exemple x^2 * 1/2√ x et on ajoute cette fois ci la dérivée fois la fonction donc 2x √ x. Bon là on ne va pas faire des calculs compliqués et on a donc obtenu la dérivée qui est donc donnée par x^2 / 2√ x + 2 x √ x donc c’est pas joli. Mais c’est bien la dérivée de la fonction qu’on était entrain de regarder ici. D’accord ?

Résumé

Quand tu as besoin de faire ça tu remarques quelles sont tes deux fonctions qui se multiplient ensembles. Par exemple ici x^2 et √x, tu écris bien u(x) = x^2, v(x) = √ x. Puis tu calcules tes dérivées et ensuite tu appliques la forme donc ça !

Même en contrôle, même quand tu as peu de temps, je te conseille de faire ça tout le temps pour être sûr de ne jamais faire d’erreur.

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