Dans cette vidéo, on va voir comment calculer l’espérance d’une loi uniforme, et plutôt comment la retrouver en fait !
Puisque l’espérance de la loi uniforme, c’est pas la formule la plus compliquée à comprendre. Sauf que de savoir le faire, ça va nous permettre de comprendre comment on calcule l’espérance d’une loi continue.
Retrouver et calculer l’espérance d’une loi uniforme ?
Espérance de la loi uniforme sur [a,b], eh bien qu’est ce que c’est ? C’est l’intégrale de x f(x) dx. Ici, f(x) c’est la densité de probabilité, donc cette formule là, elle est toujours vraie.
Bon les bornes de l’intégrale dépendent de la loi que t’es entrain de regarder. Mais sinon c’est toujours comme ça que tu dois faire c’est l’intégrale de x fois la densité de probabilité, c’est ça qui va te permettre de trouver l’espérance de la loi.
Maintenant, on remplace simplement parce que ça vaut, f(x) c’est (1/(b-a)) dx. Donc il n’y a plus qu’à intégrer. Alors le plus simple c’est de sortir le (b-a), 1 / (b – a) intégrale entre a et b de x dx.
Une primitive de x c’est x^2 / 2, d’accord ? Donc x^2 / 2 qu’on va prendre entre a et b. Donc on n’a qu’à faire ce petit calcul, 1/(b-a), x^2/2 prit en b, eh bien ça fait (b^2/2 – a^2/2).
Mais alors juste une petite technique à la fin pour arriver à quelque chose, ça ça nous fait (b^2 – a^2)/2. Donc on a 1/2 ( (b^2-a^2) / (b-a) ). b^2-a^2 qu’est ce que c’est ? Eh bien c’est égalité remarquable, c’est ((b-a)(b+a))/(b-a) !
Et je n’oublie pas le 1/2 qu’il y avait devant, donc ici on a un 2. On simplifie ça et on obtient (a+b)/2 ,d’accord ? Donc il y a juste une petite technique ici c’est de remplacer le b^2-a^2 par (b-a)(b+a), et de simplifier.
Ce qu’il faut retenir avant tout !
La chose importante ici c’est comment est-ce qu’on calcule l’espérance d’une variable X qui suit une loi continue ? Eh bien c’est on intègre sur tout le domaine où la loi existe, x fois la densité de proba, soit x*f(x).
Dans le cas de la loi uniforme c’est simplement x /(b-a). Et c’est un calcul assez simple d’un point de vue intégrale, on a juste à faire une petite simplification à la fin. Et on obtient que l’espérance de la loi uniforme sur [a,b] c’est (a + b) / 2 vu que c’est uniforme !
C’est pas très surprenant puisque (a + b) / 2 c’est le milieu du segment [a,b]. Donc voilà comment tu peux calculer l’espérance de la loi uniforme sur [a,b].
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