Comment déterminer la proba p(X≤a) si X suit la loi Binomiale B(n,p) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment déterminer la proba P(X≤a) quand x suit une loi binomiale de paramètres (n, p).

La base.

D’accord, donc on a X qui suit une loi binomiale de paramètres (n, p) et on veut calculer P(X ≤ a).

Là, avant toute chose, va voir la vidéo précédente si tu l’as pas déjà vu, dans laquelle je t’explique comment tu peux calculer P(X = a) parce que on va l’utiliser dès maintenant. Et je vais pas refaire toute la démonstration car ici, ce qu’on veut comprendre, ce qu’est ce que ça veut dire P(X≤a).

Le sens de la proba p(X≤a) pour une loi binomiale.

Eh bien, ça veut dire la probabilité d’avoir au plus « a » succès. C’est quelque chose qu’il faut que tu comprennes bien ce « au plus » (et l’équivalent « au moins ») parce que c’est quelque chose qui va être beaucoup utilisé dans les énoncés !

Donc, on veut avoir au plus « a » succès. Alors si je prends un exemple pour bien te faire comprendre les choses…

Si je prends une loi binomiale qui a 5 répétitions avec une probabilité de succès d’un tiers, par exemple. Qu’est ce que ça veut dire la probabilité de X inférieur ou égale à 2 ?

C’est la probabilité d’avoir au plus 2 succès. Donc au plus 2 succès, ça veut dire que 1 succès ça marche, puisque un succès c’est X=1 et c’est bien plus petit que 2. Et 0 succès c’est aussi le cas, d’accord.

Donc ici ça te donnerait 0 succès, 1 succès ou 2 succès ! Ca te dit donc que P(X≤2) en fait c’est P(X=0) + P(X=1) +P(X=2). Ce qui est important ici c’est ce « + ».

Quand tu fais « au plus » a succès tu dois sommer toutes les probabilités de ceux d’avant. Si on va jusqu’à « a », ce serait donc P(X=0), P(X=1), p(X=2)… P(X=… blablabla, jusqu’à P(X=a).

Donc si a=1 c’est juste p(X=0) + p(X=1). D’accord au plus « a » succès, eh bien, ça englobe tous les succès, le nombre de succès possible avant « a ».

Et si c’est P(X<a) ?

Ici j’ai mis inférieur ou égal, donc le dernier il est compris et on va donc jusqu’à P(X=a). Attention parfois ça va être strictement inférieur à « a » et dans ce cas là il ne faudra pas prendre « a ».

Comment déterminer la proba P(X≤a) pour X suivant une loi binomiale via la calculette ?

Ce qui est important, ce à quoi tu dois faire attention c’est qu’à la calculette, puisque tu vas calculer ça avec la calculatrice, tu vois qu’ici on pourrait le faire une fois qu’on a la formule 1 on pourrait utiliser la formule pour P(X=0) + P(X=1) +P(X=2).

La calculette te permet de calculer directement la probabilité P(X≤a) !

Donc si tu veux calculer la probabilité de X strictement plus petit que « a », c’est la probabilité de X plus petit ou égal à « a » moins la probabilité de X = a.

Ça c’est important d’accord si tu veux calculer strictement inférieur à « a », il faut que tu utilises la calculette pour calculer inférieur ou égale et ensuite que tu soustrais le cas où X=a puisque tu veux l’enlever ici.

Mon conseil…

Si « a » est petit je te conseille de faire directement la somme. Si t’as a=1 par exemple, c’est P(X=0) +P(X=1). Ca marche très bien, ça se fait tout seul.

Donc voilà comment tu peux calculer la proba P(X≤a) quand X suit une loi binomiale de paramètres (n, p).

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