Pourquoi la loi exponentielle modélise un phénomène sans vieillissement ou sans mémoire ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir pourquoi la loi exponentielle modélise un phénomène sans vieillissement ou bien on dit aussi, sans mémoire.

Donc la loi exponentielle, elle est connue pour ça, c’est la loi qui modélise un phénomène sans vieillissement ou sans mémoire. C’est la même chose : vieillissement ou mémoire.

Et donc on va voir pourquoi c’est vrai, pourquoi est ce qu’on dit ça ? On va le voir mathématiquement ! Mais avant de le voir mathématiquement pourquoi, on va essayer de comprendre ce que ça veut dire.

Alors que veut dire que la loi exponentielle modélise un phénomène sans vieillissement ? ou sans mémoire ?

Ca veut dire que P(X>a) c’est aussi égale à P(X>T+a), sachant que X est déjà supérieur à T. Alors qu’est ce que ça veut dire ce charabia ?

L’exemple bizarre.

Pour te faire comprendre ça, je vais prendre des exemples. Si je prends X qui modélise par exemple la durée de vie d’un composant, la durée de vie d’un composant. Je vais prendre a=10 ans, et puis T=2 ans. Alors qu’est ce que je dis quand j’écris ça ?

P(X>a) c’est la probabilité que mon composant dure plus de dix ans. Avant qu’il meurt, il faut qu’il dure plus que 10 ans. P(X>a) c’est proba que le composant dure plus de dix ans même exactement.

Maintenant, qu’est-ce que c’est P(X>12) si X>2. Ça c’est la proba que le composant dure 10 ans de plus sachant qu’il a déjà duré deux ans, vécu deux ans si on veut.

On a un composant qui a bien déjà plus de deux ans puisque X est plus grand que 2, et on veut qu’il vive dix ans de plus.

Et là, je suis entrain de te dire : ta durée de vie, elle est modélisée par la loi exponentielle. Eh bien là, la probabilité qu’il dure dix ans de plus sachant qu’il a déjà duré deux ans c’est la même probabilité que à partir du point de départ, il vive dix ans.

Donc c’est un truc un peu bizarre, ça ne paraît pas très naturel, mais il y a des phénomènes qui suivent cette loi là et il faut comprendre mathématiquement pourquoi en effet, la probabilité qu’il vive plus de dix ans est la même probabilité qu’il vive plus de dix ans sachant qu’il a déjà vécu deux ans.

Calcul de P(X>a).

Donc si on regarde mathématiquement ce que ça veut dire. On va regarder la probabilité pour commencer que X soit plus grand que a. Donc ça c’est l’intégrale entre a et plus l’infini de λ e^(-λx) dx. On a dit, ça c’est -e^(-λx) prise entre a et plus l’infini.

Alors pour le plus l’infini, qu’est-ce qu’on fait ? On le prend en x et on le fait tendre vers l’infini. Donc ça, je vais l’écrire directement comme ça : limite quand x tend vers plus l’infini de -e^(-λx) – – (-e^(-λa)).

Alors quand x tend vers l’infini, -λx, λ est positif, donc -λx tend vers zéro, donc ça c’est zéro. Donc ici, il nous reste moins moins, donc ça ça fait -λ. Donc la probabilité que X soit plus grand que a c’est e^(-λa).

Calcul de P(X>T+a).

Maintenant, on veut regarder la probabilité, sachant que X plus grand que T, de X > (T+a). Donc là, on utilise les formules classiques. Je te rappelle la formule probabilité deA sachant B c’est P(A ∩ B) / P(B).

Donc si j’applique cette formule ici, qu’est ce que ça nous dit ? Ca nous dit : P(X>(T+a) ∩ (X>T)) / P(X>T). Là, on réfléchit. L’événement P(X>(T+a) ∩ (X>T)). Autrement dit, on veut que à la fois on ait X>(T+a) et X>T, ça c’est exactement X>(T+a) ici.

Alors ça, il faut bien le réfléchir, mais si tu veux à la fois que X soit plus grand que T+a et plus grand que T, tu n’as pas d’autres choix. Il faut que ce soit plus grand que T+a.

Donc c’est cette chose-là divisé par la probabilité que X soit plus grand que T. Alors tu vois qu’on met un a ou T, ça ne change pas grand chose. Donc si P(X>a) c’est e^(-λa), P(X>T) ici, celui qui est au dénominateur, ça va être e^(-λT).

Même chose en haut, sauf qu’ici au lieu de a, on a T+a, donc on va avoir e^(-λ(T+a)). En utilisant les propriétés de l’exponentielle, e^A/e^B = e^(A-B).

Donc là tu vas voir, ça se simplifie tout seul, je te laisse faire le calcul, ça fait -λa. Autrement dit, on a égalité puisque ici, cette probabilité là, elle est égale à e^(-λa) qui est égal à e^(-λa), donc on à égalité entre ces deux probabilités.

Donc on a bien la probabilité de X plus grand que a qui est égale à la probabilité que X plus grand que T+a, sachant que X est plus grand que T. Et donc ça c’est ce qu’on appelle une loi sans vieillissement.

Retour à l’exemple.

Toutes les lois qui vérifient ça, ce sont des lois sans vieillissement ou sans mémoire. Autrement dit, on oublie le fait qu’on a déjà vécu deux ans et on va quand même vivre dix ans.

Donc la probabilité qu’on vive dix ans de plus c’est la même que la probabilité qu’on vive dix ans à partir du point de départ.

Donc voilà pourquoi on dit que la loi exponentielle est une loi sans vieillissement ou une loi sans mémoire, c’est simplement parce que tu peux calculer ses probabilités et montrer qu’elles sont égales.

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