Pourquoi P(X=a) est toujours nul si X suit une loi de probabilités continue ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir pourquoi la P(X=a) est toujours nul si X suit une loi de probabilités continue.

X suit une loi de probabilités continue.

Donc X suit une loi à densité, quelque soit la densité, on peut l’appeler f par exemple. Et la question c’est pourquoi P(X=a) = 0, ∀ a ∈ R. Dans le cas discret, tu sais que P(X=a), eh bien, ça vaut quelque chose.

Dans le cas où X suit une loi à densité, la probabilité de X égal à une valeur spécifique, ça vaut toujours zéro. Je pourrais te le montrer de plein de façons différentes.

La raison qui explique pourquoi P(X=a) est nul si X suit une loi de probabilités continue.

Mais ce qu’il faut que tu comprennes c’est que dans la probabilité d’une loi à densité, d’une variable qui suit une loi à densité, il y a une intégrale.

Si on dessine donc la densité de proba ici, je vais en prendre une cloche, c’est vrai qu’on aime bien les cloches comme ça, et que je prends une valeur a, qu’est ce que ça veut dire P(X=a) ?

Eh bien c’est la probabilité d’être sur ce trait en gros. C’est ça qu’on veut dire puisque si on regarde quelque chose d’avant, P(X<a), on sait que c’est l’intégrale qui est entre moins l’infini et a. Et de même P(X>a) c’est l’intégrale entre a et plus l’infini.

Donc P(X=a) c’est l’intégrale sur ce trait. Qu’est ce que ça veut dire l’intégrale sur ce trait ? Ca se traduit part l’intégrale pour X=a de f(x) dx. Mais l’intégrale sur X = a, c’est quoi ?

C’est l’intégrale entre a et a de f(x) dx. Et là, tu vois que si tu connais une primitive de f, ça veut dire que tu vas faire F(a) -F(a). Et ça, ça vaut zéro !

Rappel rapide.

L’intégrale d’une fonction, quelque soit la fonction, sur un point donné, c’est zéro. Donc la P(X=a)=0. Si tu veux, on peut le voir un peu différemment.

Une autre façon de le comprendre.

Qu’est ce que c’est l’événement contraire de X=a ? C’est (X<a) ∪ (X>a). Alors, soit on est strictement plus petit que a, soit on est strictement plus grand, c’est bien l’événement contraire de X=a.

La probabilité de cette chose là, P((X<a) ∪ (X>a)) = P(X<a) +P(X>a). Eh bien ça, ça correspond à quoi ? ça correspond à l’intégrale entre moins l’infini et a de f(x) dx, plus l’intégrale entre a et plus l’infini de f(x) dx.

Donc cette chose là, c’est rien d’autre que l’intégrale, tu vois qu’en fait les deux intervalles ici se rejoignent, et ça fait l’intégrale entre moins l’infini et plus l’infini de f(x) dx qui par définition vaut 1. Puisque f est une densité de proba !

Et si la probabilité de l’événement contraire c’est 1 la probabilité de l’événement lui-même c’est zéro. Voilà c’est une autre façon de le voir.

La raison derrière tout ça, c’est vraiment que l’intégrale en un point vaut zéro. Mais tu peux le voir autrement si tu préfères le voir avec des intervalles, tu calcules la proba de l’événement contraire, tu vois que la proba de l’événement contraire c’est 1, donc la proba de l’événement de départ c’est zéro.

Voilà pourquoi si X suit une loi à densité, la probabilité de X=a est toujours égale à zéro quelque soit la valeur de a.

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