Que vaut la probabilité p(X>a) pour X qui suit la loi Binomiale B(n,p) ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer la probabilité P(X>a) quand X suit une loi binomiale de paramètres (n, p).

La base.

Donc on va commencer par X suit B(n,p) et puis on veut calculer P(X>a).

Mais avant tout, regarde les 2 vidéos précédentes de la playlist ! Si tu as besoin et que tu les as pas encore vues, puisque je vais t’expliquer en détail comment on arrive à calculer ces probabilités à la base. Et je vais les utiliser tout de suite pour calculer celle-ci.

Donc ce qu’on veut c’est comprendre ce que ça veut dire ça X suit une loi binomiale. Donc c’est une répétition d’événements indépendants, d’expériences de Bernoulli indépendantes, de probabilités de succès “p”.

Le sens de la probabilité p(X>a) pour une loi binomiale.

Comme X compte le nombre de succès, P(X>a) c’est la probabilité d’avoir au moins “a+1” succès. Pourquoi “a+1” et pourquoi “au moins” ?

On veut être plus grand strictement que “a” donc en fait, puisque assez un nombre entier, c’est la même chose que de dire que X est supérieur ou égal à a+1.

Donc supérieur ou égale, ça veut dire qu’on va avoir au minimum a+1 succès, mais qu’on peut en avoir a+2, a+3, a+4 jusqu’à jusqu’à n. Donc c’est pour ça qu’on a au moins a+1 succès.

Et pour le cas p(X≥a) ?

Attention, si j’avais P(X≥a), ce serait au moins “a” succès, puisque “a” serait compris. Ce “au moins”, il faut bien que tu le comprennes, parce que ça va apparaître dans les exercices et on va te demander, par exemple, de calculer la probabilité d’avoir au moins 3 succès. Il faut que tu saches traduire ce que ça veut dire en termes de probabilités. Donc avoir au moins trois succès, P(X>2) ou P(X≥3).

Une fois que tu sais ça, comment est ce que tu vas calculer ces probabilités ?

Parce que la calculette elle te donne quoi ? Elle sait te calculer P(X=a) pour X suivant une loi binomiale, ou P(X≤a). La calculette ne sait calculer que ces deux là. Mais maintenant toi comment tu peux faire ça ?

Quel est l’événement contraire d’avoir au moins a+1 succès ? L’événement contraire, c’est d’avoir “au plus a succès” !

Attention, c’est la seule chose compliquée avec les lois binomiales ici. Donc X > a, cet événement là, si on prend à son événement contraire ici, c’est quoi ? C’est X ≤ a. Alors quand j’écris comme ça, ça paraît naturel.

Si je te dis l’événement contraire d’avoir “au moins a+1 succès” c’est “avoir au plus a succès”, alors qu’est ce que ça nous dit ?

Eh bien, ça nous permet de faire une chose très simple, c’est de dire que P(X>a), puisque on peut faire avec son événement contraire, c’est 1 – P(X≤a).

La probabilité d’un évènement, c’est toujours 1 moins la probabilité de son événement contraire. Et ça tu sais le calculer à la calculette !

La calculette est ton amie (quand tu sais l’utiliser…)

Donc dès que tu vas vouloir calculer la probabilité de X supérieur quelque chose, donc d’au moins un certain nombre de succès avec X qui suit une loi binomiale, ce que tu vas faire c’est que tu vas l’écrire, 1 – la probabilité de l’événement contraire.

Donc attention c’est la seule difficulté : bien traduire ce que veut dire X strictement supérieur à “a”. Son événement contraire c’est X inférieur ou égal à “a”. Et donc la probabilité de l’événement que tu cherches c’est 1 – p(X≤a) que tu peux calculer à la calculette.

Donc là tu vas pouvoir le calculer directement. Autrement, tu peux aussi le séparer selon tous les cas. Si par exemple tu as 5 répétitions et tu veux calculer p(X>3), c’est P(X=4) +P(X=5).

Si tu veux, tu peux aussi le calculer comme ça mais ce qu’il faut que tu penses, quand tu as un nombre de succès qui est strictement supérieur à quelque chose, pense à l’événement contraire, ça te permet de faire les choses à la calculette très rapidement.

Voilà comment tu peux calculer la probabilité P(X>a) quand X suit une loi binomiale de paramètres (n,p).

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