Comment calculer le paramètre d’une loi exponentielle quand on connait une probabilité ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer le paramètre d’une loi exponentielle quand on connaît une probabilité pour cette variable.

Donc on va prendre une variable X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. C’est classique. Et on va faire l’hypothèse que l’on sait que par exemple P(X<=3) = 0.5. On te donne une valeur.

Alors ici, on pourrait mettre n’importe quoi. Je te donne celle ci parce qu’il faut bien en définir une, c’est pour l’exemple. Mais quelque soit ce que tu écris ici, ça tu vas pouvoir le traduire en intégrale et donc calculer le paramètre λ, c’est ce qu’on va voir tout de suite.

Loi exponentielle de paramètre λ, ça te dit quoi ?

Ça te dit que la densité de probabilité, la fonction qu’il y a derrière cette loi c’est λ e^(-λx). Alors d’accord qu’on mette x ou t ici c’est la même chose (et ça c’est un λ) c’est juste la variable de la fonction.

On sait donc que notre fonction c’est celle ci, alors je peux l’écrire ici. Une primitive de cette fonction là, c’est quoi ? C’est -e^(-λx).

Quand on va dériver ça, le -λ va descendre, avec le moins qui est ici, on va retrouver λ et on va garder cette chose. Donc on connaît une primitive, on connaît la densité de probabilité et on connaît une probabilité.

Comment calculer le paramètre de cette loi exponentielle ?

Quand tu veux calculer λ maintenant grâce à cette proba, eh bien, tu vas écrire ce que c’est ça. P(X<=3) c’est quoi ?

C’est l’intégrale entre moins l’infini et 3 de f(x) dx, sachant que f(x) ici c’est la densité de proba. Elle vaut 0 si x est strict négatif ici. Et elle vaut e^-(λx) si x est supérieur ou égal à zéro.

Donc là, j’avais été un peu vite, mais dès que t’auras vu la loi exponentielle, ça te paraîtra naturel. Cette intégrale ici puisque f vaut 0 avant 0, c’est la même chose que l’intégrale entre 0 et 3 de f(x) dx.

Maintenant, je remplace ce f(x) dx par la fonction qui nous intéresse, c’est λ e^(-λx) dx. On passe à la primitive ici, on va donc utiliser la primitive -e^(-λx) entre 0 et 3. Ceci nous donne, attention il y a des moins partout ici, -e^(-3λ) – (-e^(-0λ)), alors -0λ ça vaut 1 ici, donc on fait attention – (-e^(-0λ)), ça vaut 1.

Moins moins, ça fait plus, donc il va rester 1 moins cette chose-là. 1 -e^(-3λ). C’est des calculs pas très compliqués mais auxquels il faut faire très attention ! En particulier à cause du moins ici qui peut vraiment te poser un problème.

A quoi est-on arrivé ? On est arrivé à P(X<=3) = 1 – e^(-3λ). Maintenant, ce qu’on veut c’est trouver λ. Donc maintenant, on va utiliser ce qu’on sait de l’énoncé, c’est à dire qu’ici que P(x<=3) = 0,5 pour calculer la valeur du paramètre λ de cette loi exponentielle.

Le calcul du paramètre λ.

Donc on sait que P(X<=3) = 1 – e^(-3λ) = 0,5. On oublie la partie P(X<=3), on a donc quoi ici ? On a équivalent à e^(-3λ) = 0,5. Maintenant on passe au ln.

Donc on va avoir -3λ = ln(0,5) et puis, on va avoir λ = -ln(0,5) / 3. Alors, peu importe les calculs ici, ce que je veux que tu retiennes c’est que quand on te donne une probabilité, tu peux écrire cette probabilité en fonction de la densité de probabilité, et donc du paramètre λ.

A partir de ce moment là, si tu sais écrire ça en fonction de λ, ce P(X<=3) c’est 1 – e^(-3λ), tu vas pouvoir dire que ça c’est égal à 0,5 et trouver λ. Bien sûr, il faut avoir vu plein de choses ici !

Tu vois que j’utilise le logarithme ici, quand on passe de là à là. Évidemment si t’as pas vu le ln, ça ne va pas être possible. Normalement si t’as déjà vu la loi exponentielle, t’as évidemment déjà vu le ln qui va te permettre de faire ces calculs là.

Peu importe, ce qui est important c’est d’arriver à cette égalité ici et de montrer donc que tu peux calculer λ !

Donc maintenant, si λ vaut -ln(0,5)/3, eh bien, tu as bien cette probabilité là, et donc X suit la loi exponentielle de paramètre λ = -ln(0,5)/3. Peu importe les valeurs ici, on s’en moque un peu, ce qui était important c’est la démarche.

Voilà comment tu peux calculer me paramètre λ à partir d’une probabilité si tu sais que la variable X suit une loi exponentielle de paramètre λ.

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