Comment calculer une intégrale en utilisant les primitives ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment calculer une intégrale avec les primitives de la fonction qu’on est entrain d’intégrer.

Le cadre.

On est donc en train d’essayer de calculer l’intégrale entre a et b de f(x) dx. Alors ici f c’est une fonction continue. Sinon ça rend les choses un peu différentes…

Primitives et fonctions continues.

Globalement si f est une fonction continue, il existe une fonction en général on l’appelle avec la majuscule de la lettre qui représente la fonction, ici grand F(x) telle que — et en fait il en existe même une infinité ici — F'(x)soit égal à f(x).

Et ça, grand F c’est une primitive ! Alors je vais insister un petit peu sur le fait que c’est une primitive de petit f. Donc ici qu’est-ce grand F ? C’est une fonction qui quand on la dérive, donne petit f, et donc c’est ce qu’on appelle une primitive de f.

UNE primitive et non LA primitive.

Alors pourquoi UNE primitive de f ? C’est entre parenthèses, mais c’est très important ! C’est qu’en fait « F(x) + c » est aussi une primitive de f. Donc on ne va pas pouvoir dire que c’est LA primitive de f puisqu’il n’y en a pas qu’une, il y en a une infinité.

Et ça c’est avec C appartenant aux réels puisque quand on dérive F(x)+C, C c’est juste une constante donc c’est un réel, ça dépend pas de x, donc quand on va dériver ça, on va dériver F et on va tomber F’ = f, et C, quand on le dérive, ça fait zéro. Donc toutes les fonctions de la forme F(x) + C, sont aussi une primitive de f.

Comment calculer une intégrale avec les primitives ?

Quand on a ça maintenant qu’est ce qu’on doit connaître ? Eh bien avec ça avec une primitive de petit f, on peut calculer l’intégrale.

En fait, intégrale entre a et b de f(x) dx c’est égal à quoi ? C’est égal à F(b) – F(a). Ça c’est ça qu’il faut que tu retiennes !

Et il y a une notation qu’on utilise souvent qui est de mettre entre crochets la primitive ici donc grand F(x). Et de dire qu’on va la prendre entre a et b.

Alors ce n’est qu’une notation, mais c’est intéressant parce que ça fait apparaître la primitive que tu vas utiliser. Par contre c’est pas toujours clair, et il faut pas t’embrouiller quand t’écris ça. Parce que ça c’est exactement équivalent à dire F(b) – F(a) donc je te conseille de retenir ça.

Si jamais l’autre tu retiens pas c’est pas bien grave, mais c’est plutôt ça qu’il faut que tu retiens ici : F(b) – F(a). Donc la primitive prise en b – la primitive prise en a.

Un exemple pour bien comprendre.

Ici, je vais faire un exemple tout simple avec une fonction toute simple. Intégrale entre a et b de 1 dx. Autrement dit, je vais intégrer la fonction 1. Et qu’est ce que c’est une primitive de la fonction 1 ?

Je vais utiliser la notation juste pour nous simplifier la vie, ici c’est x parce que quand on dérive x on retombe sur 1. Par conséquent, x est bien une primitive de la fonction f(x) = 1. Et on va prendre ça entre a et b.

C’est là où il faut faire attention, c’est une notation, qu’est-ce que ça veut dire quand on écrit ça comme ça ? Ça veut dire qu’on va prendre la fonction pour x = b, et ensuite on va soustraire la fonction pour x=a.

Pour x=b, x vaut b, et pour x=a, x vaut a. La soustraction vaut donc : b-a. Et c’est la valeur de l’intégrale de la fonction 1 entre a et b… b-a.

Le lien graphique dans ce cas précis.

Alors ça, je vais faire le lien tout de suite avec ce qui se passe graphiquement. Je vais faire des intervalles tout simple ici, a, b, on a une unité ici, une unité ici, donc la fonction f(x) =1 c’est cette fonction là, et on est entrain d’intégrer cette chose là, d’accord ?

L’intégrale de la fonction 1 entre a et b c’est cette chose-là, a et b c’est ces deux valeurs là. Eh bien qu’est-ce que ça vaut ? Ça vaut 1 ici en hauteur fois b – a en largeur. Alors, b – a fois 1, ça fait b-a, et donc on retrouve bien l’aire de ce rectangle orange ici.

Voilà ce qu’il faut que tu retiennes, pour calculer l’intégrale entre a et b de petit f(x) dx c’est égal à F(b) – F(a) où F c’est une des primitives de la fonction petit f.

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