Que vaut l’intégrale d’une fonction si les bornes d’intégration sont inversées ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir ce que vaut l’intégrale d’une fonction si les bornes d’intégration sont inversées.

Alors ce qu’on fait classiquement c’est regarder l’intégrale entre a et b de f(x) dx avec a<b. Ça c’est qu’on a classiquement, et ici on va inverser les bornes. On va mettre a en haut et b en bas, toujours avec b>a. Et on veut regarder ce qu’il va se passer dans ces cas là.

Comment on peut écrire cette intégrale de la fonction f dont les bornes sont inversées ?

Eh bien, on va faire exactement ce qu’on fait d’habitude. Cette chose-là, disons qu’on connaît une primitive. Si on connait une primitive on va avoir un F(x) pris entre b et a, oui ? Et F(x) pris entre b et a c’est quoi c’est F(a) – F(b). Jusque là aucun soucis !

Mais ça, on peut aussi l’écrire moins F(b) – F(a). Là, j’ai simplement factorisé par « -« . Donc on se retrouve avec les signes inverses ! Mais F(b) – F(a) c’est ce qu’on a d’habitude en fait. Autrement dit, ça c’est -F(x) avec la notation qu’on utilise d’habitude, entre a et b dans le bon sens cette fois-ci.

Et ça c’est quoi ? C’est rien d’autre que moins l’intégrale entre a et b de f(x) dx. Donc tu vois qu’ici on a retrouvé les bornes dans le sens habituel, c’est à dire a<b. Mais du coup on a un moins devant.Qu’est ce que tout ça nous dit ?

Ça nous dit que l’intégrale entre b et a de f(x) dx, c’est moins l’intégrale entre a et b. Autrement dit, l’intégrale d’une fonction quand les bornes sont inversées c’est égal à moins l’intégrale de la fonction sans les bornes inversées.

Quel impact sur la valeur de l’intégrale ?

Attention ici, parce que ça veut dire que si tu fais l’intégrale entre a et b avec a<b d’une fonction. Dans ce cas, tu sais que la partie au dessus de la courbe des abscisses, de l’axe des abscisses va prendre une aire positive.

Et la partie en dessous va prendre une aire négative. Maintenant si au lieu d’aller de a vers b tu vas de b vers a avec toujours a<b, c’est à dire que tes bornes sont pas dans le sens croissant…

Cette fois-ci l’aire sous la courbe de la partie où la fonction est positive va être négative, et la partie où la fonction est négative va être. L’aire va être positive. D’accord ?

Puisqu’on aura l’aire de moins l’intégrale dans l’autre sens. Donc rappelle toi, si t’as pas les bornes dans le bon sens fais très attention ! Et le mieux c’est que si tu vois que ta borne inférieure est plus grande que ta borne supérieure, tu inverses les deux bornes et tu mets ton signe moins.

Si par exemple dans un exercice tu as intégrale entre 2 et -1 d’une certaine fonction g, voilà. Pour éviter de faire des bêtises, je te conseille directement de passer à « moins » intégrale entre -1 et 2 de g(x) dx. La seule chose à penser c’est ce moins ici. Comme ça t’es déjà dans le bon ordre.

Donc quand tu vas prendre l’intégrale de la fonction g, l’aire sera bien positive si la courbe est positive. Et l’aire sera bien négative si la courbe est négative. Sinon ça risque de te poser de gros problèmes et tu risques de faire des erreurs de sign !

Conclusion : quand les bornes sont inversées mets-les dans le sens croissant et pense à mettre ton signe devant l’intégrale. Voilà ce que vaut l’intégrale d’une fonction quand t’inverse les bornes.

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