Pourquoi est-ce qu’on met toujours dx (ou ds, ou dt, ou…) quand on écrit une intégrale ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir pourquoi est-ce que tu dois toujours écrire ce petit dx, ds, ou dt (ou peu importe comment il s’appelle) quand tu écris une intégrale ?

Pourquoi met-on dx (ds, dt, …) dans une intégrale ?

D’accord, on écrit toujours intégrale de f(x), on donne les bornes, et on écrit toujours ce dx. Mais pourquoi est-ce qu’on met ce dx ici ?

Il t’embête souvent ce dx, et pourtant il est bien utile, parce qu’il veut dire des choses.

L’origine du petit dx…

Si tu te rappelles quand je t’ai expliqué dans une des premières vidéos de cette playlist, je t’ai expliqué d’où sortaient ces intégrales. Et comment on pouvait les comprendre un peu en faisant l’aire des petits rectangles qu’on sommait.

Donc si je reprends un micro dessin pour qu’on s’en rappelle. Voilà on met une fonction ici, peu importe la tête qu’elle a, on a deux bornes a et b, et on veut intégrer entre a et b.

Alors on a dit, une façon de faire pour approcher les choses au départ, c’est de venir prendre des intervalles réguliers, puis de dire qu’on multiplie par quelque chose…

Et puis de dire qu’on prend la valeur au milieu, par exemple, c’est une possibilité et on multiplie la valeur au milieu à chaque fois par la largeur du rectangle. Voilà, en fait, on somme ces petits rectangles ici et puis ça nous permet d’avoir une approximation de la valeur de l’intégrale.

Et puis on avait dit pour se simplifier la vie, qu’on divisait l’intervalle [a, b] en intervalles réguliers. Donc on va appeler ça dx. Ici, dx c’est simplement (b-a) divisé par le nombre d’intervalles.

Donc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, donc dans notre cas ici dans le cas que j’ai dessiné, dx = (b-a)/10. Donc c’est quelque chose de fixe.

Du dx fixe au dx de l’intervalle :

Quand on veut passer à l’intégrale, ce qui est le cas ici, qu’est ce qu’on fait ? On augmente ce nombre d’intervalles, et on le fait tendre vers l’infini. Le nombre d’intervalle tend vers l’infini : donc on devient avec des intervalles qui sont tout tout petits et le grand dx lui va tendre vers zéro.

En fait il va tendre vers ce qu’on va appeler un petit intervalle, un petit déplacement infinitésimale, qu’on va appeler dx, d’accord ?

Le sens du dx dans une intégrale.

Donc ce dx, il a un sens : il veut dire qu’on va se déplacer un tout petit peu tout petit peu selon les x et alors pourquoi selon les x c’est important ?

Parce que c’est la variable avec laquelle on intègre. Donc on va toujours le mettre parce que c’est lui qui nous dit quelle variable on intègre !

Si tu fais l’intégrale entre a et x de f(t)dt, tu vois que la variable selon laquelle on intègre, c’est t… Donc il faut appliquer tes formules de primitives, par exemple, sur la variable t.

Et le x ici, eh bien, il est vu comme une constante ! Il pourrait s’appeler b, ça ne changerait rien du tout, d’accord ?

Donc il faut faire très attention à ne pas confondre les variables ici ! Les bornes c’est quelque chose… et tu ne peux jamais avoir dt et puis un t à la borne d’accord.

Peu importe la variable d’intégration.

La variable qui est ici, c’est à dire la variable d’intégration, ne peut pas être une des bornes ! Donc la variable d’intégration c’est celle par rapport à laquelle tu vas faire tous les calculs.

Et en fait quand tu écris ça comme ça, c’est la même chose que l’intégrale entre a et x de f(s)ds. La variable elle a peu d’importance puisque en fait, elle va « disparaître » quand tu vas intégrer.

La seule chose que ça ne peut pas être, ça ne peut pas être égal à intégrale entre a et x de f(x)dx puisque x est une borne ici. Donc c’est pas possible !

Par contre le nom de la variable d’intégration puisque elle disparaît quand intègre, eh bien, on s’en moque. Donc tu écris intégrale entre a et b de f(x)dx, ça pourrait être intégrale entre a et b de f(r)dr, f(phi)dphi, on s’en moque complètement.

Ce qui est important c’est que la variable qui apparaît dans le déplacement infinitésimale, ici le dx ou ds, le dt ou dphi, c’est la variable que tu vas intégrer dans la fonction.

Donc ce dx, ce dphi, ce petit d qu’on met toujours la fin d’une intégrale c’est lui qui te donne la variable par rapport à laquelle tu intègres. C’est pour ça que tu dois toujours le donner, toujours le définir.

C’est ça qui va te dire : eh bien je vais me déplacer selon les x entre a et b avec des petits déplacements infinitésimaux qui vont permettre de calculer mon intégrale !

Voilà pourquoi tu dois toujours mettre ce petit dx, ds ou dt dans une intégrale. Peu importe son nom mais tu dois toujours dire par rapport à quelle variable tu intègres ta fonction !

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