Comment calculer l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque.

Dans les deux vidéos précédentes, on a vu l’aire sous la courbe d’une fonction positive, l’aire sous la courbe d’une fonction négative. Ici, on veut donc calculer l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque.

Une fonction quelconque ?

Alors qu’est ce que j’entends par quelconque ? J’entends qu’on ne sait pas si elle est par endroit positif, par endroit négatif. Donc si je trace ça, qu’est ce que ça donne ?

Eh bien ça donne une fonction tout ce qu’il y a de plus normal, une fonction qui passe des fois par dessus, des fois par en dessous. On veut calculer l’aire sous la courbe de cette fonction sur cet intervalle là par exemple. On va l’appeler [B1, B2] !

L’aire sous la courbe géométriquement c’est bien l’aire qu’il y a ici, plus l’aire qu’il y a ici, plus l’aire qu’il y a ici.

Calculer l’aire sous la courbe de cette fonction quelconque ! 

Attention! On va utiliser les intégrales bien entendu, et l’intégrale elle va avoir un signe positif sur cette partie là, un signe négatif sur cette partie là, et un signe positif sur cette partie là.

Donc la première chose qu’on va faire c’est en fait déjà séparer l’intégrale complète en 3 intégrales. Ici c’est l’origine, je vais l’appeler O, et puis ici on va l’appeler C puisque c’est un autre point.

Donc A c’est bien l’aire sous la courbe Cf encore, on va l’appeler f celle ci, Cf, sur l’intervalle [B1,B2]. Là on va séparer suivant si la fonction est positive ou négative.

Intégrale et aire sous la coure… Rappel !

Donc on va regarder d’abord sur l’intervalle [B1,O], sur cet intervalle là qu’est ce qu’on voit ? On voit que f(x) est bien positive. Donc si f(x) est positive, l’intégrale c’est directement l’aire qui nous intéresse, d’accord ?

Maintenant sur [O,C], f(x) est négative, d’accord ? On est bien sous l’axe des abscisses ici. Par conséquent, l’aire sous la courbe ça va être moins l’intégrale de la même façon.

Puis enfin, entre C et B2, la fonction est positive, donc on va pas avoir de problème. La fonction est positive donc l’intégrale c’est directement l’aire. Donc qu’est ce que ça nous dit ?

Le calcul de l’aire sous la courbe est donc…

Ça nous dit que l’aire qu’on cherche c’est l’intégrale entre B1 et O de f(x) dx puisque sur cette partie-là, f est bien positive, moins l’intégrale entre O et C de f(x) dx puisqu’ici f(x) est négative, et enfin sur le dernier intervalle, la fonction avec f(x) est positive à nouveau, donc on a directement ça.

Donc ici quand tu veux calculer l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque, tu sépares simplement les intégrales entre celles qui sont sur la partie où f est positive et celle sur laquelle f est négative.

Pour les intervalles où f est positive, tu gardes directement l’intégrale, pour les intervalles où f est négative, eh bien tu prends moins l’intégrale pour retrouver la valeur positive de l’aire !

Voilà comment tu calcules l’aire sous la courbe d’une fonction quelconque.

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