Comment calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle ?

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Retranscription

Dans cette vidéo on va voir comment calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle.

La formule pour calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle [a,b] ?

Prenons une fonction f par exemple, sur un intervalle [A, b]. Alors comment est-ce qu’on calcule la valeur moyenne de cette fonction sur cet intervalle ?

Eh bien, c’est tout simple, il faut juste se rappeler de la formule que je vais te donner tout de suite. La formule c’est : valeur moyenne = 1 /b-a intégrale entre a et b de f(x)dx. Tout simplement !

Donc c’est une formule d’assez simple. On intègre f(x) dx et on divise par la longueur de l’intervalle. C’est à dire,  b-a pour l’intervalle [a, b].

Ce qu’il se passe graphiquement…

On va quand même essayer de comprendre un peu graphiquement ce qu’il se passe ! Pour ça, on va dessiner une fonction comme ça, ok ? Donc cette fonction peut-être négative aussi. Voilà, et puis on va fixer deux bornes ici a et b.

Qu’est ce que c’est que cette formule si on regarde ce qui se passe ici ? Qu’est ce qui est positif ? L’aire sous la courbe quand on fait intégrale entre a et b de f(x)dx. On sait qu’on ajoute l’aire là où l’aire sous la courbe est positive et on va soustraire la partie négative.

Ensuite, on divise par la longueur de l’intervalle. Donc voilà ça c’est pour calculer ça. C’est ton intégrale ! L’intégrale positive ici et négative ici. Donc quand tu sommes tout ça le terme négatif vient se soustraire aux deux termes positifs.

Quel est le sens de cette valeur moyenne ?

Donc ici, la valeur moyenne de la fonction ça va être quelque chose comme ça. Alors pourquoi ? Parce que si on regarde ce que cela veut dire la valeur moyenne d’une fonction ici…

Si on l’appelle grand V. Qu’est ce que c’est ? Ça si on réécrit ça, ça nous dit que V*(b – a) égal à intégrale entre a et b de f(x)dx. D’accord V * (b-a), où (b-a) c’est la longueur de cet intervalle. V c’est la hauteur ici.

Donc si tu fais vraiment V*(b-a) c’est rien d’autre que l’aire de ce rectangle orange ici. Donc la définition de la valeur moyenne d’une fonction c’est : la valeur sur un intervalle donné (ici [a b]) qui va définir un rectangle comme celui-là, d’aire équivalente à l’intégrale de ta fonction.

D’accord ? Si la fonction elle est plutôt négative et bien cette valeur elle peut être négative. Ça va être une aire négative mais dans le même sens que les intégrales. La valeur moyenne c’est donc la valeur V ici.

C’est une valeur en ‘y’ qui multipliée par la longueur de l’intervalle va te donner une aire qui correspond à l’intégrale de la fonction sur cet intervalle. C’est assez naturel en fait.

Comparaison d’aires.

Tu vois qu’ici, pourquoi je l’ai mise à cet endroit-là ? Les termes qui sont là où l’aire orange avec l’aire rouge, là il n’y a pas de problème. Ensuite il y a tout un bout d’aire qui n’est pas calculé ici.

Sauf que ce bout rouge ici il faut lui enlever le bout bleu qui est ici. Si tu enlèves ce bout bleu au bout rouge, en gros, il te reste un rectangle en dessous qui correspond à peu près à ce rectangle-là.

C’est pour ça que l’air orange correspond à l’intégrale de la fonction sur [a, b]. Et donc c’est ça que tu cherches c’est cette valeur ici ! C’est la valeur selon les ‘y’ qui multipliée par la longueur de l’intervalle va te donner l’aire de la fonction.

Et dans le cas général ?

Au final, c’est quelque chose d’assez représentatif d’où en est la fonction. Tu vois que si elle est plus négative que positive, cette intégrale là va être négative donc la valeur moyenne sera négative.

Si maintenant il y a autant au dessus de l’axe des abscisses qu’en dessous, sur l’intervalle que tu regardes ? L’intégrale va valoir zéro, donc la valeur moyenne va être 0. C’est le cas par exemple cosinus sinus si tu le prends sur une période.

Maintenant dans le cas où on était ici on est plus positif que négatif donc l’intégrale de la fonction est bien positive. Donc la valeur moyenne elle aussi est positive.

Donc voilà comment tu peux calculer la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle!

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