Dans cette vidéo on va voir comment calculer l’intersection entre une droite et un plan en 3D.
Déjà un plan (P) c’est une équation ax + by +cz + d = 0. Donc ça, ça fixe un plan, dont un vecteur normal est (a b c).
Et une droite en 3D, bon on la définit en général par son équation paramétrique. Par une équation paramétrique qui va donc être quelque chose de la forme (x0 y0 z0) plus un paramètre donc t ou k ou peu importe, et un vecteur directeur. Donc ici on va avoir (Ux Uy Uz).
Les choses importantes ici c’est qu’est ce qu’on connaît, qu’est-ce qu’on ne connaît pas ? Alors l’important c’est les inconnues. Inconnues x, y, z, d’accord ? C’est les seules inconnues, et le t ici c’est un paramètre.
Tout le reste est connu. Si tu connais ta droite, tu connais x0 y0 et z0 et Ux, Uy et Uz. Si tu connais ton plan, tu connais a, b, c, d. Donc tout le reste c’est pas des inconnues. Donc ce sera des chiffres dans ton cas ou alors des lettres mais dans un cas bien spécial, mais en général ça sera des chiffres.
Comment calculer l’intersection entre le plan (P) et la droite (D) en 3D ?
Et qu’est ce que c’est l’intersection entre (P) et (D) ? Eh bien on va remplacer dans (P), x y et z par ce qu’on a ici. Donc ce qu’on va faire c’est simplement utiliser (D) et l’intégrer dans (P).
Par conséquent, on va avoir « a » que multiplie tout une chose, plus « b » fois quelque chose d’autre plus « c » fois ça, plus « d » égal 0. Et donc qu’est ce qu’on met dans les parenthèses ?
Eh bien on sait que s’il est sur la droite, c’est égal à x0 + t * Ux, y0 + t * Uy, z0 + t * Uz. Et là, on réfléchi deux secondes et on s’aperçoit qu’en fait, la seule chose qu’on ne connaît pas c’est t, d’accord ?
On a dit a, b, c, d, on connaît, x0, y0, z0, on connaît, Ux, Uy et Uz, on connaît. Donc là on a une équation et une inconnue. Il nous reste juste à essayer de résoudre cette équation.
Là tu auras des chiffres partout, il suffit de développer, de réduire et de trouver t égal à quelque chose.
Les 3 situations possibles et les intersections correspondantes.
Possibilité 1
La première possibilités c’est : t appartient aux réels c’est à dire tu as trouvé une valeur de t. Et ça, ça veut dire qu’une seule valeur de t. Donc qu’est ce que ça te dit ? Qu’il y a un point d’intersection !
On va noter intersection sous cette forme là, un point d’intersection et ses coordonnées sont simplement donné en réinjectant la valeur de t que t’as trouvé dans l’équation de (D), d’accord ?
Donc tu vas avoir x du point d’intersection qui égal à x0 plus… donc là, disons on obtient un t, on va l’appeler t0. Eh bien un point d’intersection qu’on va appeler I. Et ce point, il a pour coordonnées : x_I est égal à x0 plus donc t0 qui est la valeur que tu as trouvé, t0 * Ux. Ok ? y_I qui égal à y0 et t’as compris le truc, t0 * Uy, z_I égal z0 + t0 * Uz.
Puisque tu connais tous ici x_I, y_I et z_I se sont bien fixés, et tu pourras trouver donc tes coordonnées du point d’intersection.
Possibilité 2
Le cas numéro 2 : pas de solution. Donc là, ça arrive, tu n’as pas de solution. Alors s’il n’y a pas de solution ça veut dire qu’il n’y a pas d’intersection simplement.Et pas d’intersection ça veut dire quoi ? Ça veut dire que la droite et le plan sont parallèles et non confondus !
Possibilité 3
Tu as une infinité de solutions. Dans ce cas là, qu’est ce que ça veut dire ? Et bien ça implique que la droite (D) est incluse dans le plan (P) ! Et qu’est ce que ça veut dire être inclus dans le plan (P) ? Ça veut vraiment dire c’est complètement contenue dans le plan (P).
Donc dans ce cas là, il y a une infinité de solutions puisque l’intersection entre les deux c’est donc toute la droite.
Voilà comment tu peux calculer l’intersection entre une droite et un plan en 3D ! Tu retombes sur une équation à une seule inconnue et suivant les solutions que tu arrives à trouver, eh bien tu as trois possibilités qui sont celles-ci.
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