Dans cette vidéo je t'explique comment calculer l'intersection entre une droite et un plan en 3D.

Transcription de la vidéo

​Dans cette vidéo on va voir comment calculer l'intersection entre une droite et un plan en 3D. Donc un plan, un plan (P) c'est une équation ax + by +cz + d = 0. Donc ça, ça fixe un plan, dont un vecteur normale et (a b c) et une droite en 3D, bon on la défini en général par son équation paramétrique. Par une équation paramétrique qui va donc être quelque chose de la forme (x0 y0 z0) plus un paramètre donc t ou k ou peu importe, et un vecteur directeur. Donc ici on va avoir (Ux Uy Uz).

Les choses importantes ici c'est qu'est ce qu'on connaît, qu'est-ce qu'on
ne connaît pas ? Alors l'importance c'est les inconnues. Inconnues x, y, z,
d'accord ? C'est les seules inconnues, et le t ici c'est un paramètre. Donc ça attention, ça c'est un paramètre. Et en rouge on a des inconnues. Tout le reste est connu. Si tu connais ta droite, tu connais x0 y0 et z0 et Ux, Uy et Uz. Si tu connais ton plan, tu connais a, b, c, d. Donc tout le reste c'est pas des inconnues, donc ce sera des chiffres dans ton cas ou alors des lettres mais dans un cas bien spécial, mais en général
ça sera des chiffres. Donc comment est-ce qu'on calcule l'intersection entre (P) et (D) ? Qu'est ce que c'est l'intersection entre (P) et (D) ? Eh bien on va remplacer dans (P), x y et z par ce qu'on a ici.

Donc ce qu'on va faire c'est simplement prendre, utiliser (D) et l'intégrer dans (P). Donc on va avoir "a" que multiplie tout une chose, plus "b" fois quelque chose d'autre plus "c" fois ça, plus "d" égal 0. Et donc qu'est ce qu'on met dans les parenthèses ? Eh bien on remplace x, on avait x ici, mais on sait que x d'après la droite s'il est sur la droite, eh bien c'est égal à x0 + t * Ux, y0 + t * Uy, z0 + t * Uz. Et là, on réfléchi deux secondes et on s'aperçoit qu'en fait, la seule chose qu'on ne connaît pas c'est t, d'accord ?

On a dit a, b, c, d, on connaît, x0, y0, z0, on connaît, Ux, Uy et Uz, on connaît.
Donc là on a une équation et une inconnue, une équation et une inconnue.
Donc il nous reste juste à essayer de résoudre cette équation. Donc là tu auras des chiffres partout, il suffit de développer, de réduire et de trouver t égal à quelque chose. Alors maintenant qu'est-ce qu'elles sont les possibilités ? Il ya trois possibilités. Soit tu trouves t, une valeur de t. Donc je vais les noter après. Possibilité une, t appartient aux réels c'est à dire tu as trouvé un t, une valeur de t. Et ça, ça veut dire qu'une seule valeur de t. Donc qu'est ce que ça te
dit ? ça te dit qu'il y a un point d'intersection. D'accord ?

On va noter intersection sous cette forme là, un point d'intersection et ses coordonnées, eh bien ses coordonnées sont simplement donné en réinjectant la valeur de t que t'as trouvé dans (D), d'accord ? Donc tu vas avoir x du point d'intersection qui égal à x0 plus... donc là, disons on obtient un t, on va l'appeler t0. Eh bien un point d'intersection qu'on va appeler I. Et ce point, il a pour coordonnées :
x_I est égal à x0 plus donc t0 qui est la valeur que tu as trouvé, t0 * Ux. Ok ? y_I qui égal à y0 et t'as compris le truc, t0 * Uy, z_I égal z0 + t0 * Uz. Puisque tu connais tous ici x_I, y_I et z_I se sont bien fixés, et tu pourra trouver donc tes coordonnées du point
d'intersection. Le cas numéro 2 : pas de solution. Donc là, ça arrive, tu n'as pas de solution. Alors s'il n'y a pas de solution ça veut dire qu'il n'y a pas
d'intersection simplement.

Donc ici pas d'intersection. Donc pa sd'intersection ça veut dire quoi? ça veut dire que la droite et le plan sont parallèles et non confondus. Et dernière possibilité :
une infinité de solutions, une infinité de solutions. Dans ce cas là, qu'est ce que ça
veut dire ? Et bien ça implique que (D), la droite (D) est incluse dans le plan (P),
alors qu'est ce que ça veut dire être inclus dans le plan (P) ? ça veut vraiment dire c'est
complètement contenue dans le plan (P). Donc dans ce cas là, il y a une infinité de
solutions puisque l'intersection entre les deux c'est donc toute la droite.

Donc voilà comment tu trouves l'intersection entre une droite et un plan en 3D, et donc tu retombes sur une équation à une seule inconnue et suivant les solutions que tu arrives à trouver, eh bien tu as trois possibilités qui sont celles ci.

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