Dans cette vidéo je t'explique comment comprendre les équations cartésiennes de plans en 3D.

Transcription de la vidéo

​Dans cette vidéo, on va voir comment comprendre les équations cartésiennes de plans en 3D. Donc c'est un peu différent de ce qu'on a fait dans la vidéo précédente c'est à dire les équations paramétriques. Donc ici, on a toujours notre repère x y z et on a un plan P. Disons qu'on a un plan, on pourrait reprendre un petit peu ce que j'avais fait avant, voilà. Disons que ça, ça représente un plan P, comme ça qu'on aime bien la pièce, c'est pas très compliqué.

Eh bien pour représenter, pour trouver l'équation cartésienne, en fait ce qu'il nous faut
c'est simplement un point et un vecteur normal. Donc ici, on va prendre un vecteur normal.
Donc ici le plan je l'ai fais assez plat donc on peut prendre un vecteur normal qui ressemble à ça, et un point, alors peu importe où il est le point ici, on pourrait le prendre ici, ça change rien. Donc ici on va prendre un point A et on va avoir ce vecteur là qui est normal au plan. Donc tous les points du plan, qu'est-ce qu'ils vérifient ? Il
vérifient que si tu prends un point ici, un point M, tu vois que le vecteur ici il est orthogonal, normal, il est orthogonal au vecteur n. Et donc c'est ça qu'on va utiliser. C'est qu'en fait, n'importe quel point, alors et même ici en fait j'aurais pu
prendre le point directement ici, mais c'est vrai pour tou vecteur.

Par exemple, si je prends le vecteur AM, le vecteur AM, il est orthogonal au vecteur n, voilà. C'est ça qui est important, c'est comme ça que tu va définir, exactement comme en 2D, on définissait une droite de cette façon là et ici on va définir un plan.

Donc on a un vecteur n, on a n'importe quel point, on a un vecteur normal, un point, eh bien M appartient au plan P, ça équivaut à dire que AM, le vecteur AM est orthogonal au vecteur petit n. Et ça, eh bien on refait exactement comme en 2D c'est à dire qu'ici on va... ça veut dire que AM . n = 0. Et on écrit ce que ça veut dire. Alors qu'est ce que ça veut dire ? AM, toujours pareil c'est si on dit que M ça s'écrit (x y z) ici, (x y z) ça c'est (x_A y_A z_A). Donc ici on va avoir ( x - x_A y - y_A z - z_A)
scalaire n, n on va l'appeler (a b c), classique, ça nous simplifie la vie, égale zéro.

Le produit scolaire c'est quoi ? C'est (a * x - x_A) + (b * y - y_A) + (c * z - z_A). Donc maintenant, si je te laisse développer ça et le réduire, tu va obtenir ax + by + cz, et qu'est ce qu'il va rester ? Il va rester + (-x_a * a - ya * b - z_a * c) = 0 Et donc maintenant, tu appelles ça petits d, et qu'est-ce que tu obtiens ?

Tu obtiens la formule classique d'une équation de plans, d'équation cartésienne de plans en 3D c'est ax + by +cz + d = 0.
Et tu sais que a, b, c eh bien c'est les coordonnées en x, y et z, du vecteur normal, d'un vecteur normal.
Donc ici, le vecteur normal c'est bien (a b c), ça tombe bien, c'est ce qu'on avait vu. Et l'équation c'est bien ax + by + cz + d = 0. Donc voilà comment on obtient l'équation cartésienne d'un plan. C'est de là qu'elle sort et c'est ce qui te permet de faire le lien entre l'équation cartésienne et la géométrie.

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