Comment comprendre les équations cartésiennes de plans en 3D ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo, on va voir comment comprendre les équations cartésiennes de plans en 3D.

Tu vas voir, c’est un peu différent de ce qu’on a fait dans la vidéo précédente c’est à dire les équations paramétriques. Ici, on a toujours notre repère x y z et on a un plan P.

Ce qu’il faut pour comprendre les équations cartésiennes de plans :

Pour trouver l’équation cartésienne, en fait ce qu’il nous faut c’est simplement un point et un vecteur normal !

Donc ici, on va prendre un vecteur normal. Et comme je l’ai fait assez plat donc on peut prendre un vecteur normal qui ressemble à ça. Et un point, alors peu importe où il est le point ici, on pourrait le prendre ici. On a donc un point A et on va avoir ce vecteur là qui est normal au plan.

Qu’est-ce que vérifient tous les points du plan ?

Ils vérifient que si tu prends un point ici, un point M, tu vois que le vecteur ici il est orthogonal au vecteur n. Et donc c’est ça qu’on va utiliser !

C’est qu’en fait, n’importe quel point, alors et même ici en fait j’aurais pu prendre le point directement ici, mais c’est vrai pour tous vecteur. Par exemple, si je prends le vecteur AM, il est orthogonal au vecteur n, voilà.

C’est ça qui est important, c’est comme ça que tu vas définir, exactement comme en 2D, on définissait une droite de cette façon là ici on va définir un plan.

Donc on a un vecteur normal, et un point. Et on a : M appartient au plan P, équivaut à dire que le vecteur AM est orthogonal au vecteur petit n. Et ça, exactement comme en 2D, ça veut dire que AM•n = 0.

De l’orthogonalité nait l’équation…

Et on écrit ce que ça veut dire. Alors qu’est ce que ça veut dire ? AM, toujours pareil c’est si on dit que M ça s’écrit (x y z) ici, (x y z) ça c’est (x_A y_A z_A). Donc ici on va avoir ( x – x_A y – y_A z – z_A) scalaire n, n on va l’appeler (a b c), classique, ça nous simplifie la vie, égale zéro.

Le produit scalaire c’est quoi ? C’est (a * x – x_A) + (b * y – y_A) + (c * z – z_A). Donc maintenant, si je te laisse développer ça et le réduire, tu va obtenir ax + by + cz, et qu’est ce qu’il va rester ?

Il va rester + (-x_a * a – ya * b – z_a * c) = 0 Et donc maintenant, tu appelles ça petit d, et qu’est-ce que tu obtiens ? Tu obtiens la formule classique d’une équation de plans, d’équation cartésienne de plans en 3D c’est ax + by +cz + d = 0.

Et tu sais que a, b, c sont les coordonnées en x, y et z, d’un vecteur normal. Donc ici, le vecteur normal c’est bien (a b c), ça tombe bien, c’est ce qu’on avait vu !

Et l’équation c’est bien ax + by + cz + d = 0. Donc voilà comment tu peux comprendre les équations cartésiennes de plans. C’est de là qu’elles sortent et c’est ce qui te permet de faire le lien entre l’équation cartésienne et la géométrie.

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