Comment montrer que 2 droites sont parallèles en 3D ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo, on va voir comment montrer que 2 droites de l’espace (3D) sont parallèles. Et donc pour faire ça, on va prendre deux droites ! Alors dans l’espace ce qui définit une droite c’est toujours un point et un vecteur directeur, d’accord ?

Donc ici, je vais pas m’embêter avec l’équation paramétrique. Je vais dire : la droite (d), elle passe par un point A et elle a un vecteur directeur u. Et la droite (d’), elle va passer par un point (P’) et un vecteur directeur u’.

Comment montrer que ces 2 droites sont parallèles en 3D ?

Quand on a ça et qu’on veut montrer que ces deux droites sont parallèles, il suffit de montrer que les deux vecteurs directeurs sont colinéaires !

Encore une fois, si tes vecteurs directeurs ont la même direction, tes deux droites auront la même direction. Et comment est ce qu’on regarde si deux vecteurs directeurs ont la même direction ? Eh bien on regarde s’ils sont colinéaires.

Je te rappelle que deux vecteurs colinéaires ça veut exactement dire qu’ils ont la même direction. Pas le même sens, mais la même direction. Si u et u’ sont colinéaires, alors (d) est parallèle à (d’).

C’est la meilleure façon de montrer que deux droites sont parallèles dans l’espace. Encore une fois, on traduit ça pour pas l’oublier, colinéaires ça équivaut à dire que si il existe k appartenant à R*, donc un réel donné tel que u est égal à k * u’ (k peut être négatif, attention).

Alors dans ces cas là, on a bien (d) parallèle à (d’), d’accord ? C’est ça qu’il faut retenir : pour que ces deux droites soient parallèles, il faut qu’elles aient la même direction. Autrement dit, que leur vecteurs directeurs soient colinéaires.

Pour montrer que 2 droites sont parallèles en 3D, il suffit donc de montrer que leurs vecteurs directeurs sont colinéaires !

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