Comment montrer que deux plans sont parallèles grâce aux vecteurs normaux ?

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Retranscription

​Dans cette vidéo, je vais te montrer comment montrer que deux plans sont parallèles grâce à leurs vecteurs normaux. On va donc avoir deux plans : un plan (P) qui va s’écrire ax + by +cz + d = 0, et un plan (P’) qui va s’écrire donc ex + fy + gz + h =0.

Rappel : qu’est ce qui définit un plan ?

Pour définir un plan, et donc l’équation cartésienne du plan, il nous faut un vecteur normal, et un point. Et quand on a cette équation là, le vecteur normal c’est simplement (a b c). Et ici, le vecteur normal c’est n’ et c’est (e f g).

Si tu te rappelles la vidéo dans laquelle je t’explique l’équation cartésienne, tu vois que le vecteur normal c’est ce qui définit l’orientation du plan, le sens du plan si tu veux.

Comment utiliser les vecteurs normaux pour montrer que les plans parallèles ?

Donc ici, si les deux plans sont parallèles, les deux vecteurs normaux eux ils vont être colinéaires. Comment tu montres ça ? Tu dis si n et n’ sont colinéaires, alors (P) // (P’).

Et ensuite, tu peux aller chercher s’ils sont confondus parce qu’on peut être parallèle et confondu. Ou strictement parallèle, autrement dit que les deux ne se touchent pas.

Et donc pour ça eh bien il va falloir jouer sur les équations. Alors tu vois que s’ils sont confondus, ça veut dire que c’est la même équation ! Et donc à un facteur prêt tes deux équations seront les mêmes.

Mais de façon générale si tu veux juste montrer que deux plans sont parallèles, il suffit de montrer que leurs vecteurs normaux n et n’ sont colinéaires.

Et ça c’est la même chose que de dire si il existe k appartenant aux réels non nuls évidemment, à R* tel que n = k * n’, alors… parce que c’est ça la définition de colinéaire, alors (P) // (P’).

Donc voilà, quand tu voudras montrer le parallélisme entre deux plans, une façon est de montrer que les 2 vecteurs normaux sont colinéaires.

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