Comment calculer la limite d’une fonction en un point où elle est définie ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer la limite d’une fonction en un point où elle est définie. On va donc chercher la limite d’une fonction, alors on va l’appeler f comme toujours, en un point où elle est définie d’accord ?

Rien de fou ici… Regardons.

On n’est pas entrain de chercher quelque chose de compliqué ici. Il faut juste préciser que la fonction elle est continue d’accord ? f est continue, je reviendrai dessus après, donc quelle est la limite ? Eh bien, on va simplement regarder à quoi ça correspond.

Prenons une fonction continue. Par exemple, une fonction parabolique comme ça, qui est donc un polynôme degré deux typiquement. Et donc on va regarder un point a. On va prendre le point a ici, et ce qu’on veut c’est calculer limite de f(x) qui est donc cette courbe bleue, quand x tend vers a égales. Eh bien c’est ça qu’on va chercher, d’accord ?

La notation de la limite.

Donc la notation elle est toute simple, limite on dit quel type de limite on regarde, x tend vers a. Et quelle fonction on est entrain de regarder, f(x). Donc ici, ça c’est la courbe représentative de la fonction f. Et on a un point a pour lequel on veut savoir vers quoi tend la courbe quand x tend vers a.

Limite d’une fonction en un point a.

Première chose, ça veut dire qu’on va prendre un point, par exemple x ici. On va se placer sur la courbe, donc on a un certain f(x) ici, et on va faire tendre x vers a tout en restant sur la courbe.

Donc qu’est ce qui se passe quand x tend vers a, eh bien la courbe est un petit peu ici, un petit peu là, un petit peu là, on continue et quand on arrive sur a, eh bien on a une valeur ici !

Alors, si j’avais pris un x de l’autre côté, est ce que c’est la même chose ? Ici, on est là, f(x), donc x, f(x), on reste sur la courbe et on fait tendre x vers a, donc on va aller vers la gauche, donc quand on va vers la gauche et qu’on raye sur la courbe, eh bien on vient là, là, là, etc… jusqu’à ce qu’on arrive ici, donc ici le point a, c’est un point spécial.

Le cas d’une fonction continue.

Donc x=a, si on est sur la courbe, puisqu’ici la courbe c’est une fonction continue. Et qu’on voit que tout est lisse et qu’on peut faire les choses très proprement. Ici c’est f(a), d’accord ?

Puisque c’est un point de la courbe, un endroit où la fonction est bien définie. Donc la limite de f(x) quand x tend vers a c’est f(a). Ça c’est important de le retenir, x tend vers a, limite de f(x) quand x tend vers a égale f(a).

La condition de continuité.

Alors la seule condition importante c’est ça : si f n’est pas continue c’est pas nécessairement vrai. Ici f est continue et en fait ça c’est même la définition. Alors ça c’est un peu en dehors de la vidéo, mais ça c’est équivalent à dire f est continue en a, d’accord ?

Donc ça c’est une définition de la continuité d’une fonction en un point a c’est de dire que la limite de cette fonction quand x tend vers a, est égal à f(a).

Donc graphiquement, tu vois exactement ce qui se passe en fait. C’est juste qu’il n’y a pas des crochets, il n’y a pas de fonction qui part à l’infini ou quoi que ce soit c’est juste une courbe toute lisse toute propre. Et quand on va faire tendre x vers un point, eh bien f(x) va tendre vers f de ce point.

Donc ça c’est important, retiens-le, parce que c’est pas souvent que tu vas avoir des choses aussi simples… Et c’est un coup à être déstabilisé le jour où on va te demander quelque chose de ça !

Donc la seule condition c’est « f doit être continue en ce point ». Ici, je l’ai mis f continue partout, en fait c’est f continue en a pour pouvoir dire que limite de f(x) c’est égal à f(a).

Donc c’est aussi simple que ça la limite d’une fonction d’un point où elle est définie mais pense bien à le retenir. Ne vas pas chercher le compliqué ici, c’est quelque chose de tout simple tant que f est continue.

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