Que faut-il savoir sur les limites de la fonction exponentielle, e^x ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce que tu dois savoir sur les limites de la fonction e^x. Donc on va regarder la fonction exponentielle x et on va regarder ses limites.

Les limites de la fonction exponentielle, ou e^x.

Alors je vais la tracer pour commencer ici. La fonction e^x, elle vaut 1 en 0, et ensuite elle tend vers 0 en moins l’infini. Donc elle est tout le temps positive et croissante et elle part très très fort vers l’infini !

Les limites à connaître : eh bien elle va tendre vers zéro en moins l’infini. Donc la limite de x tend vers moins l’infini de e^x c’est 0. En plus l’infini c’est une fonction qui explose. Donc ça c’est les deux limites de base.

Ensuite, il y a d’autres limites qui nous intéressent et qui vont faire partie de ce qu’on appelle le théorème des croissances comparées.

Croissances comparées entre e^x et x.

Bon, peu importe un peu le nom, ce n’est pas très important, mais ce qui nous intéresse c’est de regarder comment se comporte e^x/x et x*e^x.

C’est les deux fonctions qui nous intéressent parce qu’elles vont apparaître plusieurs fois. Et surtout ça permet de voir comment les choses grandissent l’une par rapport à l’autre.

Pour e^x/x ?

Alors, si on regarde en premier e^x / x, à quel endroit ça va poser un problème ? Si on regarde la limite en moins l’infini, est ce que ça nous pose un problème ?

En moins l’infini, e^x tend vers zéro et on divise par quelque chose qui est très très grand. Donc tout ça ça tend vers zéro, ça ne pose pas de problème.

En plus l’infini, e^x tend vers plus l’infini, x tend vers plus l’infini. Ca fait donc, plus l’infini divisé par plus l’infini. Donc c’est une des formes qui nous intéressent, x tend vers plus l’infini, ça c’est la première !

Pour x*e^x ?

Deuxièmement, on va regarder x e^x. En plus l’infini, ça fait plus l’infini fois plus l’infini, ça ne pose pas de problème non plus, ça fait plus l’infini.

En moins l’infini, ça ça tend vers moins l’infini, ça ça tend vers zéro, on a dit moins l’infini fois zéro c’est aussi une forme indéterminée ! Donc ici la limite de x tend vers moins l’infini de x e^x c’est quelque chose qui nous intéresse.

Et les limites en 0 ?

On pourrait regarder les limites en zéro puis-qu’ici on divise par zéro sauf qu’ici, ça ça tend vers 1, donc 1/0, eh bien ça tend vers plus ou moins l’infini suivant de quel coté on est, et ici ça va tendre vers zéro.

Les limites réellement intéressantes :

Donc les deux limites qui nous intéressent des croissances comparées c’est ces deux limites ici. Et ce qui va se passer, ce que tu dois retenir c’est que c’est toujours « l’exponentielle qui l’emporte sur x ».

Alors qu’est ce que ça veut dire ? Ça veut dire qu’exp tend vers plus vite vers sa limite que X.

Donc ici, on va tendre plus vite vers plus l’infini que x tend vers plus l’infini. Autrement dit, ça va faire plus l’infini. e^x / x, e^x s’accroît tellement vite, elle s’accroît plus vite que x et donc on va tendre vers plus l’infini.

De la même façon ici, x tend vers moins l’infini mais e^x tend vers zéro. Et il va tendre vers zéro d’une manière plus rapide que x tend vers moins l’infini. Autrement dit, c’est encore une fois e^x qui va l’emporter, et la limite en moins l’infini de x e^x c’est 0.

L’exponentielle l’emporte toujours sur x…

Ce qu’il faut que tu retiens c’est que l’exponentielle l’emporte sur x, d’accord. Donc e^x tend plus vite vers l’infini que x en plus l’infini. Et en moins l’infini, e^x tend plus vite vers zéro que x tend vers moins l’infini.

Juste pour te le faire remarquer : il suffit de connaître cette limite là parce que tu peux calculer la limite ici avec celle d’au-dessus. Cette chose-là, c’est la même chose que la limite quand x tend vers plus l’infini de -x e^-x.

-x e^-x, donc ici on tend vers plus l’infini, c’est aussi -x / e^x. Alors, tu vois qu’ici -x / e^x c’est moins l’inverse de cette chose là. Donc ça c’est aussi la limite de -1 / (e^x/x), ça fait quelques petites manipulations mais globalement c’est pas très compliqué.

Et maintenant tu sais que -1, eh bien c’est fixé, et x e^x eh bien ça tend vers plus l’infini en plus l’infini, donc tu as 1 sur plus l’infini, et ça c’est zéro.

En fait si tu connais celle ci, C’est à dire que tu te rappelles qu’en plus l’infini, l’exponentielle croît plus vite vers l’infini que x et donc que sa limite, de e^x / x c’est plus l’infini, eh bien tu peux aussi calculer la deuxième. Il suffit de faire quelques manipulations pour faire réapparaître cette limite là.

Mais globalement, retiens que l’exponentielle l’emporte sur x, cherche les démonstrations si ça t’intéresse, mais c’est ça qu’il faut que tu retiennes, c’est toujours exponentielle x qui l’emporte sur x.

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