Comment calculer la limite d’une fonction grâce à un encadrement ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux calculer une limite en utilisant un encadrement. Ici on va chercher à calculer la limite d’une fonction grâce à un encadrement. Alors un encadrement c’est quoi ?

Un encadrement ?

C’est simplement une double inégalité, ça veut dire que tu mets f, tu sais que f est plus grande qu’une certaine fonction g et plus petite qu’une certaine fonction h.

Alors, ici c’est évidemment g(x) < f(x) < h(x) et pour tout x appartenant au domaine de définition de f puisque c’est ça que tu as besoin. En gros, t’as encadré ta fonction f ! Tu sais que pour tout x, la courbe de f elle va être comprise entre la courbe de g et la courbe de h. La courbe de g va être en dessous, la courbe de h va être au dessus.

Le voir sur un dessin…

Je vais te faire un petit dessin, disons qu’on va tracer une fonction, on va tracer une fonction g et puis, une fonction h, peu importe ce qui est fait avant mais en gros, elle est entrain de tendre là. Et là, tu as ta fonction f qui est comprise entre les deux courbes et qui est toujours entre les deux courbes.

Bon, je crois que le dessin est assez explicite, ça c’est la fonction h, en dessous c’est la fonction g, et puis en bleu c’est la fonction f. Donc on a bien toujours f(x) qui est compris entre le g(x) et h(x).

La condition sur les limites.

Donc ça c’est la première condition. La deuxième chose c’est que tu sais que limite de g(x), alors on va prendre x tend vers plus ou moins l’infini ici, est égal à a et limite de h(x) est aussi égal à a.

C’est exactement ce que j’ai dessiné en fait ici. Tu vois qu’en plus l’infini, les deux courbes h et g tendent vers la même chose, ça tend vers la même chose et la courbe bleue, elle est entre les deux.

Calculer la limite d’une fonction grâce à son encadrement !

Eh bien, si ça et ça, alors limite quand x tend vers plus ou moins l’infini de f(x) est égal à petit a. Donc en gros, t’as pas besoin de savoir calculer là encore la limite de ta fonction f !

Ce que tu as besoin c’est d’abord deux fonctions qui sont autour de ta fonction f et qui tendent vers la même chose. Puisqu’elles tendent vers la même chose et que f est compris entre les deux, eh bien f n’a pas d’autre choix que de tendre vers la même valeur.

Donc si g et h tendent vers a, eh bien elle va tendre vers a. Donc en fait, tu passes la limite sur cette inégalité ! Tu vas avoir limite de g, limite de f, limite de h limite de g et limite de h c’est a. Eh bien, donc la limite de f n’a pas d’autre choix que d’être elle-même petit a, d’accord ?

Surtout utilisé dans le cas d’une limite finie.

C’est comme ça que tu calcules la limite d’une fonction par un encadrement. Donc ça c’est quelque chose que tu vas utiliser pour montrer que la limite d’une fonction tend vers une valeur finie ! C’est pas plus ou moins l’infini, ici ça tend vers a.

Là encore, tu as ta fonction f, tu cherches à calculer la limite et tu connais un encadrement de cette fonction f pour tout x.

Eh bien tu vas pouvoir utiliser ce théorème pour calculer la limite de la fonction. Si les deux fonctions qui encadrent f tendent vers la même chose pour x tendant vers plus ou moins l’infini suivant ce que tu regardes.

Voilà comment tu peux calculer la limite d’une fonction par encadrement.

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