Que faut-il savoir sur les limites du logarithme népérien, ln(x)?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir ce qu’il faut savoir des limites du logarithme népérien, ou ln(x). Commençons par dessiner ce qu’est la fonction ln.

La fonction logarithme, ou ln(x).

Première chose elle est définit seulement sur les x positifs, ça je te le rappelle, j’espère que tu t’en rappelle aussi ! On a y, on a x, ln(1) vaut 0, et ensuite eh bien, on va partir de quelque chose de très négatif et on va aller vers plus l’infini.

Les limites du logarithme népérien (ln(x)).

Donc il y a deux limites de base : la première elle est en zéro, quand x tend vers zéro.

Et donc là c’est nécessairement par x positif, ln(x) tend vers moins l’infini. Alors ça, tu l’as vu quand t’as vu la fonction logarithme. La deuxième elle est en plus l’infini, x tend vers plus l’infini, eh bien ln(x) tend vers plus l’infini.

Ça c’est les limites de base : il faut de toute façon que tu connaisses la forme de cette fonction ! Et vu la forme qu’elle a, et tu sais qu’elle est croissante, donc normalement ça ne te pose aucun problème de savoir ses deux limites. Il suffit de les dessiner, tu le vois directement.

Limites et croissances comparées…!

Maintenant, comme pour l’exponentielle, il va y avoir des limites intéressantes de croissances comparées. Encore une fois, les deux qui vont nous intéresser c’est ln(x)/x et x*ln(x). Alors, on regarde il y a deux bornes qui nous intéresse, la borne 0 et la borne plus l’infini.

ln(x)/x en 0

Premièrement, pour ln(x)/x en 0, ln(x) tend vers moins l’infini, x tend vers zéro. Donc on divise par quelque chose de très très petit… Autrement dit, on multiplie par quelque chose de très très grand !

Donc on est entrain de multiplier quelque chose de très très grand négatif par quelque chose de très très grand positif, ça fait moins l’infini et ça ne pose aucun problème !

ln(x)/x en +∞

En plus l’infini, ça fait plus l’infini sur plus l’infini c’est une forme indéterminée. Donc la première chose qui nous intéresse pour ce théorème, c’est la limite de ln(x)/x quand x tend vers plus l’infini.

xln(x) en +∞

La deuxième x ln(x) en plus l’infini ça fait plus l’infini fois plus l’infini, donc ça ne pose aucun problème. Celle qui va nous intéresser, c’est donc la limite quand x tend vers 0 de x ln(x).

xln(x) en 0

Et là, comme avec l’exponentielle, on à l’un qui l’emporte sur l’autre. Alors ici, évidemment, contrairement à l’exponentielle, eh bien c’est x qui l’emporte sur le ln.

x l’emporte toujours sur ln(x). Alors qu’est ce que ça veut dire ? Ici, en plus l’infini, ça veut dire x va plus vite vers plus l’infini que ln(x). Si tu traces x ici, c’est la droite qui passe ici à 45 degrés, donc tu vois que ça va beaucoup plus vite vers l’infini que ln(x).

Puisque x tend plus vite vers plus l’infini que ln(x), la limite de cette chose là c’est zéro. Même chose en 0, la limite de x c’est 0, donc ici ça fait zéro aussi, d’accord. ln(x) tend vers moins l’infini… Mais en gros x va tendre plus vite vers zéro que ln(x) tend vers moins l’infini. Donc x va l’emporter !

Donc une façon de retenir, retiens ça, c’est le plus simple, retiens x ln(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro parce que x l’emporte sur ln(x).

Et en l’infini ?

Maintenant, tu peux réutiliser cette limite là dans ce que tu as au dessus. Si x tend vers plus l’infini ici, tu peux aussi l’écrire comme étant 1/x avec x tend vers zéro.

Ça c’est limite quand x tend vers zéro, alors x positif ici, de ln(1/x) divisé par 1/x. Puisque 1/x quand x tend vers zéro avec x positif, ça tend bien vers plus l’infini. Donc ça c’est égal.

Et ça s’écrit aussi limite quand x tend vers zéro, bon je zappe le coté positif. Diviser par 1/x c’est multiplier par x, donc on va avoir x ln(1/x). ln(1/x), formule de ln c’est -ln(x), donc ici ça fait -x ln(x) quand x tend vers zéro.

Et donc ça, puisque limite de x ln(x) c’est 0, c’est 0 aussi. Donc en fait, si tu retiens celle là, c’est à dire que la limite de x ln(x) quand x tend vers zéro, eh bien c’est x qui l’emporte, donc c’est zéro. Eh bien, tu peux aussi calculer celle en plus l’infini !

Voilà, il y a deux limites à connaître pour le logarithme népérien (ln(x)) ! Je te conseille de connaître la première ou de te rappeler que « x l’emporte sur ln ».

En l’infini, ça veut dire que x va tendre plus vite vers l’infini que ln, et en 0 eh bien c’est x qui l’emporte aussi, donc ça va être 0.

Au final, voilà les trois, quatre choses que tu dois connaître sur les limites du logarithme népérien, autrement dit, ln(x).

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