Comment calculer une limite de fonction par comparaison ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer une limite de fonction par comparaison.

Par comparaison ?

Alors qu’est ce que ça veut dire par comparaison ? Eh bien c’est qu’on ne va pas calculer directement la limite de la fonction ! On va utiliser une comparaison entre la fonction et une autre fonction dont on sait calculer la limite. Autrement dit, dans les faits qu’est ce que ça va donner ?

Ça veut dire que si g(x) est inférieur à f(x) et limite de g(x) quand x tend vers ±∞ vaut +∞, alors limite de f(x) quand x tend vers ±∞ est égal à +∞. Alors qu’est ce que je suis entrain de dire ici ?

Je cherche la limite d’une fonction f en plus ou moins l’infini. Et ce que je sais c’est que cette fonction f, elle est toujours plus grande qu’une autre fonction g.

Calculer une limite de fonction par comparaison : c’est bête et méchant !

Et cette fonction g, je sais calculer sa limite en plus ou moins l’infini, c’est plus l’infini. Donc, je suis entrain de te dire que f est toujours plus grande que g et que g tend vers plus l’infini.

Tu vois que c’est assez naturel ! Si f est toujours plus grande que g, que g tend vers plus l’infini… Eh bien f, elle n’a pas d’autre choix que de tendre vers plus l’infini. C’est exactement ça que j’ai écrit ici.

Si f est plus grande que g, et g sa limite c’est plus l’infini, alors la limite de f est plus l’infini. Donc y a pas besoin de calculer explicitement la limite de f. On va juste utiliser une comparaison de f avec une autre fonction, d’accord.

Les cas qui ne marchent pas…

Il y a des cas dans lesquels ça ne va pas marcher. Si ici je te dis que g ça tend vers moins l’infini, f elle peut tendre vers n’importe quoi puisque f est plus grande que moins l’infini, ok.

Ce qu’il faut c’est f plus grand que g, ça c’est nécessairement limite de g égal plus l’infini qui te faut ici, d’accord ? Parce que tu veux montrer que g va pousser f à aller vers plus l’infini aussi. Donc ça c’est obligatoire, si tu ne fais pas ça, ça n’a pas d’intérêt.

Le cas f < g.

f plus petit que g, cette fois ci c’est le contraire ! Tu veux que limite de g soit égal à moins l’infini, parce que si limite de g est égal à moins l’infini. Alors f étant plus petit que g, elle va tendre aussi vers mon l’infini, d’accord.

Donc ça dépend vraiment de ce que tu veux montrer. Ici aussi ça dépend si tu es en plus ou moins l’infini. Ce qui t’intéresse c’est seulement une des deux limites en général, d’accord.

Retiens ça :

Ce que tu dois retenir pour les comparaisons c’est qu’en gros tu cherches la limite d’une fonction f, tu ne vas pas savoir la calculer directement, mais par contre tu vas connaître une inégalité sur cette fonction. Tu vas savoir dire que pour tout x, eh bien f(x) est plus grande que g(x) ou plus petit que g(x). Et g(x) c’est une fonction dont tu sait calculer la limite.

Autrement dit, tu la connais même si tu ne sais pas la calculer. (on t’a dit que cette fonction tend vers quelque chose par exemple). En gros, tu connais la limite de g là où ça t’intéresse et tu sais que g minore ou majore la fonction f. Il faut que ce soit la condition qui t’intéresse, d’ailleurs exactement ce que j’ai écrit ici.

Et pour une limite en a ?

Alors ici j’ai mis plus ou moins l’infini, ça pourrait être en a tant que la limite en fait qui t’intéresse ici serait en plus ou moins l’infini.

Donc tout ça c’est du bon sens vraiment, mais c’est des choses auxquelles tu dois penser quand tu ne sais pas calculer une limite. Dès que tu vois que tu connais une inégalité sur ta fonction f(x) pour tout x, eh bien tu vas pouvoir utiliser certainement cette inégalité pour calculer une limite de f.

Voilà comment tu peux calculer une limite par comparaison.

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