Comment calculer la limite d’un polynôme en ± infini ?

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Retranscription

Alors dans cette vidéo, on va voir comment calculer la limite d’un polynôme en plus ou moins l’infini.

La version « officielle »…

On va donc regarder la limite d’un polynôme quelconque ici, on s’en moque, en plus ou moins l’infini. Alors ce qu’on va te dire c’est qu’il faut regarder la limite du monôme de plus haut degré.

L’explication sur un exemple.

Je vais prendre un exemple tout de suite, ce sera beaucoup plus clair. Si par exemple je prends x^5 – x^2, on pourrait mettre 3, 3 x^2 + 2, ok ? ça c’est un polynôme de degré 5 qui a trois monôme : x^5, -3 x^2 et puis 2.

Si ici on regarde la limite, ici on va le faire, limite de x^5 – 3 x^2 + 2 quand x tend vers plus l’infini par exemple. Alors ce je t’ai dit dans une vidéo précédente, c’est que la limite d’une somme c’est la somme des limites, nous regardons chacune des limites.

Limite de x^5 quand x tend vers plus l’infini, eh bien c’est plus l’infini. Limite de – 3 x^2, ça va être moins l’infini puisque x^2 tend vers plus l’infini, -3 fois plus l’infini, ça tend bien vers moins l’infini. Et puis 2, bah lui ça change pas.

Donc ici, tu arrives à quelque chose qui est de la forme plus l’infini moins l’infini plus deux. Et on a dit plus l’infini moins l’infini, ça pose un problème, on sait pas calculer cette ligne.

Donc ici, on ne peut pas faire sous cette forme là, on ne peut pas juste décomposer la limite de la somme comme la somme des limites.

Le truc pour comprendre comment calculer a limite d’un polynôme en ± l’infini.

Ce qui va falloir faire en fait c’est factoriser on va factoriser ce polynôme par le plus haut degré.

Donc ici, le plus haut degré c’est x^5, donc on va le mettre en facteur et on va avoir quoi ? On va avoir (1 – 3 / x^3), si on multiplie x^5 par -3/x^3, les puissances se simplifient, il reste x^,2 plus 2/x^5.

Ça c’est exactement le même polynôme que ça, d’accord ? Maintenant on va regarder la limite de cette chose là. Cette fois-ci, au lieu d’avoir une limite d’une somme, on a limite d’une multiplication.

Donc on a d’un côté limite de x^5, et ça en plus l’infini, eh bien a dit c’est plus l’infini et de l’autre on a limite de 1 – 3 / x^3 + 2 / x^5, le tout quand x tend vers plus l’infini. Alors, le 1 lui il ne change pas.

Quand x tend vers plus l’infini, x^3 tend vers plus l’infini. Donc -3 sur quelque chose de très grand, on divise un truc fixe par quelque chose de très très grand, eh bien ça tend vers zéro.

Donc ça, ça tend vers zéro et de la même façon on va diviser 2 par quelque chose de très grand, ça va tendre vers zéro. Or cette limite là, elle vaut 1.

Et puisqu’elle vaut 1, la limite de x^5 fois tout ça, c’est limite de x^5 fois limite de tout ça. Donc c’est plus l’infini fois 1 et cette chose là, elle va tendre vers plus l’infini quand x tend vers plus l’infini.

Ok, mais je retiens quoi ici ?

Alors qu’est ce qu’on retient là ? J’ai fait ça sur un exemple mais ce que j’ai appliqué là c’est exactement la raison pour laquelle on te dit de choisir la limite du monôme de plus haut degré.

Ce qu’on va te dire c’est de dire que limite de x^5 – 3x^2 +2 quand x tend vers plus ou moins l’infini ici d’ailleurs, c’est égal à la limite quand x tend vers plus ou moins l’infini de x^5.

L’explication…

C’est vrai, pour la simple et bonne raison que tu peux faire tout le temps cette factorisation ! Donc si tu factorises par le plus haut degré, t’auras toujours quelque chose de la forme 1 plus un terme moins un terme plus un terme moins un terme…

Donc ces termes là sont tous de cette forme là, c’est à dire quelque chose de fixée divisée par quelque chose qui tend vers plus ou moins l’infini. Autrement dit, ça ça tend toujours vers zéro, ça ça tend toujours vers 0 quel que soit le premier nombre que tu es entrain de regarder du moment que tu factorises par le plus haut degré.

C’est pour ça que tu as le droit de dire qu’en fait la limite d’un polynôme c’est la limite de son plus haut degré. Et ça c’est vrai que en ±l’infini parce que si t’es pas en ±l’infini, eh bien ces limites là, ne tendent pas vers zéro du tout et donc tu peux pas faire cette simplification.

Donc la limite d’un polynôme en plus ou moins l’infini c’est la limite du monôme de plus haut degré quel que soit le degré du polynôme.

Rappelle-toi de la raison !

Et il faut que tu te rappelles de la raison ! Parce que c’est ça qui est important c’est qu’en fait c’est souvent une forme indéterminée si tu regardes le polynôme en lui-même.

Dès que tu factorises par le plus haut degré, tu fais sauter l’indétermination. Tu vas avoir toujours ton monôme de plus haut degré qui multiplie quelque chose qui tend vers une valeur.

La plupart du temps elle tend vers zéro, et il va juste rester le facteur qui est devant le terme de plus haut degré. Ensuite, tu fais ta multiplication puisque tu as la limite d’une multiplication c’est la multiplication des limites. Donc ce sera plus ou moins l’infini fois le terme qui te reste ici. Ici c’est 1, mais ça aurait pu être -2, -10, -20, d’accord ?

Donc la limite d’un polynôme en plus l’infini c’est la limite de son monôme de plus haut degré pour la simple et bonne raison que si tu factorises, tu fais sauter l’indétermination.

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