Comment calculer la limite d’une suite qui converge grâce à la formule de récurrence ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer la limite d’une suite qui converge grâce à la formule de récurrence.

Formule de récurrence.

Là, ce qu’on sait c’est qu’on a une certaine suite Un qui est définie avec un certain U0 et une formule de récurrence. Je vais prendre un truc suffisamment général ici, f peu être n’importe quoi. U0 c’est un réel et U(n+1) est égal à f(Un). Ça c’est la formule de récurrence.

Suite convergente.

On sait une chose importante c’est que Un converge, donc t’as pu montrer qu’elle convergeait. Par exemple, en montrant qu’elle était majorée et croissante ou bien minorée et décroissante.

Tu sais donc qu’elle converge mais tu sais pas vers quoi, et la question c’est de trouver la limite quand n tend vers plus l’infini de la suite Un. C’est ça qui nous intéresse ici : comment est ce qu’on peut faire ça ?

Calculer la limite d’une suite qui converge grâce à sa formule de récurrence.

On va partir de cet argument : on sait qu’elle converge. Donc si on sait qu’elle converge, ça veut dire qu’elle a une limite finie.

Autrement dit, il existe un petit ‘l’, un réel tel que limite de Un quand n tend vers plus l’infini est égal à ‘l’. C’est simplement la traduction de Un converge. Un converge, ça veut dire qu’on a bien une limite finie.

Et cette limite finie c’est ce qu’on cherche ici en fait. La question qui nous intéresse c’est que vaut l ? Pour faire ça, on va utiliser la formule de récurrence. Alors pourquoi on utilise ça ?

Eh bien, parce que si la limite de Un quand n tend vers plus l’infini est égale à l, qu’est ce qu’on sait aussi ? On sait que la limite de U(n+1) quand n tend vers plus l’infini, c’est aussi l ! Puisque si Un tend vers l, U(n+1) tend vers l aussi.

C’est la suite en entier qui tend vers l. Donc que ce soit n ou n+1, ça tend vers plus l’infini. Donc Un ou U(n+1), tendent vers la même chose ici, l. Et donc qu’est ce qui est important maintenant ?

Injecter la limite dans la formule de récurrence.

Tu vas pouvoir faire la limite dans ta formule de récurrence. Bon, t’as lim U(n+1), je zappe les n égales à plus l’infini, égal à la lim f(Un). Bon f, on considère que c’est une fonction continue, elle ne pose aucun problème.

Eh bien ça, c’est équivaut à quoi ? lim U(n+1), on sait que c’est l. Et la lim f(Un), puisque la limite de Un c’est l, eh bien ça ça tend vers f(l). Un tend vers l, donc f(Un) tend vers f(l) puisque la fonction est continue.

L’équation l = f(l).

Maintenant, tu as une équation ici, l = f(l) ! Eh bien suivant la fonction f que tu as derrière, tu vas pouvoir calculer l. Je vais prendre un exemple tout de suite, comme ça ce sera plus clair.

On va prendre la suite Un définie par U0 = 1 et U(n+1)= 1/2 Un + 1. Donc ici, je te laisse faire ça en exercice mais tu peux montrer que cette suite là, elle converge, ici je vais juste l’admettre. Un converge.

Puisque Un converge, on va appeler l sa limite, lim Un = l. Et on va utiliser la limite dans cette chose là. Donc on va avoir lim U(n+1) = (lim 1/2 Un + 1). ça, ça équivaut à quoi ?

On a dit limite de U(n+1) c’est lim Un, donc ça c’est petit l. Et ici, lim 1/2 Un + 1 c’est 1/2 lim Un +1. La limite de Un c’est l, donc ici, on va avoir 1/2 l + 1.

Donc ça, ça nous donne quoi ? l – 1/2 l, donc ça, ça fait 1/2 l = 1. Et donc ça nous donne l=2. Puisque la suite converge, qu’on le sait, on peut faire cette chose là, tout ce petit calcul ici, pour trouver que la limite vaut 2.

Voilà comment tu peux calculer la limite d’une suite qui converge grâce à sa formule de récurrence.

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