Exemple d’une suite qui ne converge pas sans tendre vers l’infini ?

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Retranscription

Dans cette vidéo, on va voir l’exemple d’une suite qui ne converge pas sans tendre vers l’infini.

Pourquoi avoir un exemple de suite qui ne converge pas sans tendre vers infini ?

Parce que souvent on va croire qu’une suite soit elle converge, soit elle tend vers l’infini. Alors qu’en fait il y a des suites qui ne convergent pas et qui ne tendent pas vers plus ou moins l’infini.

Alors ça c’est un exemple qu’il faut toujours avoir en tête. Parce que ça peut arriver qu’on te pose la question suivante : donnez une suite qui ne converge pas sans tendre vers plus ou moins l’infini.

Des suites qui ne convergent pas et qui tendent vers plus ou moins l’infini, t’en connaît des tonnes ! Par exemple, racine de x tend vers l’infini, racine de n tend vers l’infini, Un = √n, Un=n, Un = n à n’importe quel exposant, etc…

LA suite typique.

Maintenant, ce qui est intéressant c’est d’avoir une suite qui ne converge pas mais qui ne tend pas vers plus ou moins l’infini. Et tu vas voir, elle est toute simple. Mais c’est un exemple qu’il faut que tu gardes en tête.

Cette suite c’est Un = (-1)^n.

Qu’est ce qui se passe quand t’as la suite (-1)^n ? En 0 ça vaut 1, en 1 ça vaut -1, en 2 ça vaut (-1)^2 donc ça vaut 1. En 3, ça vaut (-1)^3, donc ça vaut -1.

Donc cette suite elle vaut… 1 si n est pair, et -1 si n est impair. Et ça c’est vrai quel que soit n. Donc tu vas toujours osciller, un terme va être 1, l’autre va être -1, un terme va être 1, l’autre va être -1, etc.

Donc tu vois que même quand n va tendre vers plus l’infini, eh bien ça va rien changer. Tu vas toujours passer de -1 à 1, -1 à 1, -1 à 1. Autrement dit, tu ne vas pas converger, tu ne vas pas tendre vers une valeur fixée puisque c’est toujours entrain d’osciller entre -1 et 1. Et en même temps, ça ne tend pas vers plus l’infini ou moins l’infini puisque ça vaut -1 ou 1.

Voilà un exemple de suite qui est toujours bon d’avoir en tête, qui ne converge pas et qui ne tend pas vers plus ou moins l’infini

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